Resolver $(a + b\sin(x))\sin(x) = p$ para $x$

Question

Esse problema me deixou perplexo. Eu tentei usar$t = \tan(x/2)$ identidades, mas acabam com um polinômio de 4ª ordem que não consigo resolver.

Answer 1

$$\begin{align}p&= \sin x(a+b\sin x)\\&=a\sin x + b\sin^2 x\\&= b(\sin^2 x+\frac{a}{b}\sin x)\\&=b\bigg[\sin^2 x+\frac{a}{b}\sin x +\frac{a^2}{4b^2}\bigg]-\frac{a^2}{4b}\\&=b\bigg[\sin x+\frac{a}{2b}\bigg]^2-\frac{a^2}{4b} \end{align}$$

Por meio do preenchimento da praça. Então,$$\sin x = \frac{-a\pm\sqrt{4pb+a^2}}{2b}$$ e $$x=\sin^{-1}\left( \frac{-a\pm\sqrt{4pb+a^2}}{2b}\right)$$

Este é um quadrático em $\sin x$ e pode ser simplificado fazendo a substituição $\sin x =\lambda$e a resolução como uma equação quadrática normal. Também ajuda a subtrair$p$ para obter $$b\sin^2 x +a\sin x -p=0$$ que é o mesmo que $$b\lambda^2+a\lambda-p=0 $$e é facilmente resolvido usando a equação quadrática. Substituição de costas$\sin x$ depois de resolver para $\lambda$ e tomar o seno inverso de ambos os lados produzirá o mesmo resultado.