Resolver $ x=54+\sqrt{54-\sqrt{x}} $

Question

Tentei muito com esta equação, mas nada parece funcionar: $$ x=54+\sqrt{54-\sqrt{x}} $$Tentei fazer o quadrado, mas deu uma equação quadrática que não consigo resolver.
Alguma ideia, por favor?

Answer 1

$$ x = 54 + \sqrt{54 - \sqrt{x}} \\ k = 54 - \sqrt{x} \\ t = x-54 \\ k+t = x - \sqrt{x}$$

E entao:

$$ t = \sqrt{k} \\ t^2 = k \\ t^2 + t = t(t+1) = k+t = x - \sqrt{x} = \sqrt{x}( \sqrt{x} - 1)$$

$$t = \sqrt{x} -1 ~~ \text{and} ~~ t+1 = \sqrt{x} $$

$$ t = x-54 \\ (t+1)^2 = x \\ (x-53)^2 = x$$

Que é uma equação quadrática simples, você obterá $2$ resultados, um deles não seria correto porque tornaria o LHS de sua equação negativo (depois de "mover" o 54 para a esquerda), e sabemos que as raízes quadradas sobre os reais fornecem uma solução positiva.

Answer 2

Podemos colocar $y=54-\sqrt{x}$ para obter um sistema de equações \begin{align} x-54&=\sqrt{y}\\ y-54&=-\sqrt{x}. \end{align} Quadrado e subtração um do outro (usando o fato de que $x,y \geq 0$) isso simplifica para $$ (y-x)(108-x-y)=y-x. $$ Desde a $y \neq x$ (caso contrário, o sistema acima renderia $-\sqrt{x}=\sqrt{y}$ e entao $x=y=0$, impossível), nós temos $108-x-y=1$. Conectando isso a uma das equações que obtemos$x-54=\sqrt{107-x}$, e por isso precisamos resolver a equação quadrática $$ (x-54)^2=107-x. $$ Isso deve ser um exercício simples, produzindo duas raízes reais, das quais apenas uma irá satisfazer $x -54 \geq 0$.

Answer 3

Com $x=t^2$, $$(t^2-54)^2=54-t$$ é uma equação quártica.

Embora um CAS nos diga que as soluções têm uma expressão relativamente simples, não vejo maneira melhor de alcançá-la do que o método de resolução padrão do quártico.