sequência de progressão aritmética, $\gcd(a,b)=1$

Question

Eu tenho esta pergunta sobre progressão aritmética.

para um número natural $k>1$, a sequência : $$1+L , 1+2L , 1+3L ,\dots, 1+KL$$

seu comprimento é $K$

Eu preciso escolher $L$ > 0 Número natural que torna cada número na sequência relativamente primo.

e $a[i]-a[i-1]=d$ estático

(nenhum divisor comum com qualquer outro número na sequência $\gcd(a,b)=1$)

Answer 1

Deixei $a_i = iL + 1$ para $i = 1,\ldots K$.

Para qualquer $i \ne j$, deixei $d = \gcd(a_i,a_j)$.

Desde a $d$ divide ambos $a_i$ e $a_j$, $d$ divide $ia_j - ja_i = i-j$.

Desde a $1 \le i,j \le K$, temos $1 \le |i-j| \le K-1$. Isso implica $$(i-j) | (K-1)!\quad\implies\quad d | (K-1)!$$

Se escolhermos $L$ ser qualquer múltiplo de $(K-1)!$, então $d|L$. Como um resultado,

$$d | a_i\quad \iff\quad d |( iL + 1 ) \quad \implies \quad d | 1 \quad\implies\quad d = 1 $$

Desde a $i, j$ são arbitrários, isto significa sempre que $L$ é um múltiplo de $(K-1)! {}^{\color{blue}{[1]}}$, todos $a_i, a_j$ são pares primos relativos entre si.

Nota

• $\color{blue}{[1]}$ - Se você quiser um menor $L$, você pode substituir $(K-1)!$ por ${\rm lcm}(1,2,\ldots,K-1)$ e isso também funciona.