Sequências Collatz generalizadas

Question

Deixei $\mathbb{N}$denotam o conjunto de inteiros positivos. Para$k\in\mathbb{N}$ deixei $c_k:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ ser definido por $x\mapsto x/2$ para $x$ mesmo e $x\mapsto kx+1$de outra forma. A sequência Collatz de$x\in \mathbb{N}$ em relação a $k$, denotado por $\text{Coll}_{x,k}:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ é definido por $1\mapsto x$ e $n\mapsto c_k(\text{Coll}_{x,k}(n-1))$ para $n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$.

A famosa conjectura de Collatz afirma que $$1\in\text{im(Coll}_{x,3})$$ para cada $\in\mathbb{N}$.

Para $k$ mesmo, o comportamento de $\text{Coll}_{x,k}$ é desinteressante, e é fácil ver que para cada $x\in\mathbb{N}$, a sequência $\text{Coll}_{x,1}$eventualmente periódico. Além disso, se$k>1$ e $k=4a+1$ para alguns $a\in\mathbb{N}$, percebemos que nenhum membro de $\text{im}(\text{Coll}_{k,k})$ é divisível por $4$... ( Editar: desculpas, esta última afirmação é falsa, conforme apontado pelo usuário @wojowu! Então, eu pensei erroneamente apenas$k=4a+1$ é desinteressante, então as perguntas abaixo se concentram em $k=4a+3$.)

Questões.

1. Existe $a\in\mathbb{N}$ de modo que haja um número inteiro positivo $x$ de tal modo que $\text{Coll}_{x,4a+3}$é ilimitado? (O menor valor conhecido de$a$ satisfazer isso seria de interesse.)

2. Existe $a\in\mathbb{N}$ de modo que haja um número inteiro positivo $x$ de tal modo que $\text{Coll}_{x,4a+3}$ é limitado, mas $1\notin \text{im}(\text{Coll}_{x,4a+3})$, ou em outras palavras, $\text{Coll}_{x,4a+3}$ eventualmente é periódico, mas $1$ não está envolvido no período?

Editar. Eu corrigi a definição indutiva de$\text{Coll}_{x,k}$. Obrigado ao usuário @wojowu por detectar meu erro.

Answer 1

Este longo comentário pode ser útil:

Acho que a resposta é negativa, como apontei nos comentários, porque quase todas as órbitas de Collatz atingem valores quase limitados, o resultado que é mostrado por Terras e foi provado por Allouch que afirma que${\mathrm{Col}_{\min}(N) < N}$ Para quase todos $N$(no sentido de densidade natural), e há uma melhoria aqui por Terry Tao no sentido de densidade logarítmica ( ver Teorema 2 ).