Shrinking Squares. Exploração empírica

Question

No livro de Arthur Engel, "Problem Solving Strategies", há um problema particular que ele chama de Shrinking Squares, exploração empírica . O problema é bastante desafiador, mas depois de ler a prova, parece bastante simples, mas então o problema fica ainda mais difícil e sugere que a propriedade do algoritmo apresentado também representa números reais não negativos, o que me deixou perplexo e não encontrou uma maneira de descobrir como isso poderia ser verdade. O problema começa assim: Temos um quadrado, cada um de seus vértices são rotulados com um valor, formando um quádruplo$(a,b,c,d)$. Geramos uma sequência que funciona da seguinte forma:$$S_0=(a,b,c,d)$$$$S_{n+1}=T(S_n)=(\lvert a_n-b_n\rvert,\lvert b_n-c_n \rvert,\lvert c_n-d_n \rvert,\lvert d_n-a_n \rvert)$$ O seguinte algoritmo acabará parando em $(0,0,0,0)$ desde depois no máximo $4k$ etapas, todos os componentes devem ser divisíveis por $2^k$, e nós temos para $\forall i \in \mathbb N$, $max(S_{i+1})\le max(S_i)$. Além do número natural, Arthur Engel sugere que esta propriedade a seguir representa os números reais não negativos dá o seguinte exemplo:$$\sqrt{2}\qquad\qquad\qquad\pi\qquad\qquad\qquad\sqrt{3}\qquad\qquad\qquad e$$$$\pi-\sqrt{2}\qquad\quad\quad\pi-\sqrt{3}\qquad\quad\quad e-\sqrt{3}\qquad\quad\quad e-\sqrt{2}$$$$\sqrt{3}-\sqrt{2}\qquad\quad\quad\pi-e\qquad\quad\quad\sqrt{3}-\sqrt{2}\qquad\quad\quad\pi-e$$$$\pi-e-\sqrt{3}+\sqrt{2}\quad\pi-e-\sqrt{3}+\sqrt{2}\quad\pi-e-\sqrt{3}+\sqrt{2}\quad\pi-e-\sqrt{3}+\sqrt{2}$$$$0\qquad\qquad\qquad0\qquad\qquad\qquad0\qquad\qquad\qquad0$$ A questão é como provar o término deste algoritmo para números reais positivos não negativos sem passar por todos os casos de ordem (que são simplificados para $2^3$ uma vez que a expectativa de vida dos quádruplos é invariante sob rotação)?

Answer 1

A afirmação "sugere que a propriedade do algoritmo apresentado também representa números reais não negativos" é falsa.

Dado isso, encontre um exemplo.

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O ponto crucial é ver a regra $ S(a, b, c, d) = ( |a-d| , |a-b| , |b-c | , |c-d| )$ como uma transformação linear não ligada $ \mathbb{R}^4$, mas em

o conjunto de vetores em $\mathbb{R}^4 $ que têm componentes estritamente decrescentes, para os quais $S_T (a, b, c, d) = ( a -d , a - b, b - c , c - d ) $.

(Sim, depois de verificar os detalhes adequados, como o que acontece quando 2 valores são iguais, para o qual termina após no máximo 6 etapas, portanto, podemos considerar componentes estritamente decrescentes.)

Você pode então aplicar a álgebra linear padrão para mostrar que existe um autovalor real positivo e o autovetor correspondente é nosso jogo infinito.

Um bom tratamento está em "A Vertical Development of Mathematical problems", de Paul Sally, Capítulo 1.