Sobrejetividade de Picard e equivalência de Morita

Question

Digamos que uma álgebra $A$ sobre um campo $k$ é Picard-sobrejetivo se o mapa canônico $$ \mathrm{Aut}(A) \rightarrow \mathrm{Pic}(A)$$é sobrejetiva. Aqui$\mathrm{Pic}(A)$ denota o grupo de classes de isomorfismo de invertíveis $A$-$A$-bimódulos e o mapa envia um automorfismo $\alpha$ para o $A$-$A$-bimódulo $A_\alpha$, onde a ação da esquerda é a usual e a ação da direita é via $\alpha$.

Q: Para qualquer dimensão finita dada$k$-álgebra $A$, existe um equivalente a Morita que é sobrejetivo de Picard?

Se não, estou interessado nas condições em que isso seja verdade. Estou principalmente interessado no caso$k=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, e para todos os exemplos que criei até agora, isso parece estar correto, pelo que posso dizer.

Answer 1

Sim, a álgebra básica de $A$ será Picard-sobrejetiva.

A álgebra básica é a álgebra de endomorfismo $\operatorname{End}_A(\bigoplus_{i=1}^{n}P_i)$da soma direta dos módulos projetivos indecomponíveis (à direita), um de cada classe de isomorfismo. É Morita equivalente a$A$.

Suponha $A$é básico. Então, como um módulo esquerdo ou direito,$A$é a soma direta de módulos projetivos indecomponíveis, um de cada classe de isomorfismo. Suponha$M$é um bimódulo invertível. Desde a$S\otimes_AM$ é diferente de zero para cada módulo simples $S$, uma decomposição de soma direta de $M$como módulo esquerdo deve conter pelo menos uma cópia de cada projetivo indecomponível. Deixar$X=\bigoplus_{i=1}^nS_i$ seja a soma direta de simples (direita) $A$-módulos, um de cada classe de isomorfismo. Desde a$X\otimes_AM\cong X\cong X\otimes_AA$, como um módulo esquerdo $M$deve conter exatamente uma cópia de cada projetivo indecomponível em uma decomposição de soma direta. Então$M\cong A$como módulos à esquerda. O certo$A$- estrutura do módulo de $M$ é então dado por um homomorfismo de álgebra injetiva $A^{op}\to\operatorname{End}_A(_AA)\cong A^{op}$, que é um isomorfismo por dimensionalidade finita: ou seja, a ação correta é induzida por um automorfismo de $A$.