sobrejetividade e injetividade de uma transformação linear

Question

Eu tenho a seguinte pergunta aqui.

Uma certa transformação linear $\varphi:P_3 \rightarrow\mathbb{R}^2$ mapeia o polinômio $x^3+3x^2+5x+7$ para $\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ \end{pmatrix}$ e $x^3+2x^2+3x+4$ para $\begin{pmatrix}1 \\ 0\\\end{pmatrix}$. O que podemos concluir sobre$\varphi$?

a) É injetivo e sobrejetivo.

b) É injetivo, mas não sobrejetivo.

c) É sobrejetivo, mas não injetivo.

d) Não é injetivo nem sobrejetivo.

e) É impossível decidir se é sobrejetora, mas sabemos que não é injetiva.

Estou tentado a dizer nenhum. Para que a transformação seja sobrejetora,$\ker(\varphi)$deve ser o polinômio zero, mas não posso dizer que seja esse o caso aqui. Não consigo nem concluir se a transformação é$1-1$ então eu não acho que seja injetivo.

Para a sobrejetividade, o codomínio da transformação linear (A imagem) deve descrever todas as $\mathbb{R}^2$ mas também não acho que posso realmente concluir isso.

Portanto, minha escolha de resposta é D, mas não acho que isso esteja certo.

Alguém pode oferecer alguma orientação?

EDIT: eu mudei$\mathbb{R}^3$ para $\mathbb{R}^2$.

Answer 1

Em primeiro lugar, acho que você quer dizer em seu primeiro parágrafo que para a transformação ser injetiva ,$\operatorname{ker} \varphi$deve ser o polinômio zero. Esta é uma afirmação verdadeira, então o fato de$\varphi$ mapas $x^3+3x^2+5x+7$ para $(0,0)$ nos diz que $\varphi$ não é injetivo.

Em segundo lugar, para a sobrejetividade, a imagem da transformação linear tem que ser toda $\mathbb R^2$. A única informação que temos aqui é que$\varphi$ mapas $x^3+2x^2+3x+4$ para $(1,0)$, então seu raciocínio está correto de que não podemos necessariamente concluir que $\varphi$ é sobrejetora.

Agora você pode concluir?