somando esta série binomial

Question

Achei uma pergunta muito interessante que é a seguinte: Prove que o valor de $$\sum^{7}_{k=0}[({7\choose k}/{14\choose k})*\sum^{14}_{r=k}{r\choose k}{14\choose r}] = 6^7$$

minha abordagem:

Tentei simplificar o sigma mais interno, além de tentar simplificar usando ${n\choose k}=n!/k!(n-k)!$ no entanto, não consigo encontrar este.

Meu palpite é que o somatório simplifica em uma série padrão, mas não posso dizer com certeza. Por favor, me ajude.

Answer 1

Em primeiro lugar, não acho que sua soma esteja certa. Os limites da soma externa devem ser $k=0$ para $7$, Eu acredito, caso contrário o valor não é $6^7$. (Pergunta agora corrigida)

Você está no caminho certo: reescrever os coeficientes binomiais em termos de fatoriais ajudará. Embora os fatores dentro da soma acabem$r$não simplificam muito por si mesmas. A solução é trazer o fator$1/\binom{14}{k}$na segunda soma. Isso nos dá$$ \left.\frac{r!}{k!(r-k)!}\frac{14!}{r!(14-r)!}\right/\frac{14!}{k!(14-k)!} = \frac{(14-k)!}{(r-k)!(14-k)!}\ . $$ Isso pode ser reconhecido como $\binom{14-k}{r-k}$. Observe que a soma interna é de$r = k$ para $14$, podemos deixar $t = r-k$, e altere os limites para $0$ e $14-k$. Isso transforma a soma interna em$$ \sum_{t=0}^{14-k} \binom{14-k}{t} = 2^{14-k}\ . $$ A soma externa agora pode ser avaliada, $$ \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} 2^{14-k} = 2^7\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k} 2^{7-k} = 2^7(1+2)^7 = 6^7\ . $$

Answer 2

Usando $${14 \choose r}{r \choose k} = {14 \choose k}{14-k \choose r-k}$$ dado reduz para

$$ \begin{align*} & \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \bigg\{\sum^{14}_{r=k} {14-k \choose r-k} \bigg\} \\ & = \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \{2^{14-k}\} \\ & = 2^{7} \times \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} 2^{7-k} \\ & = 2^{7}\times(2+1)^{7} \\ & = 6^7 \end{align*} $$

Edit: Como apontado por @ElliotYu, o limite externo deve ser de$0$ para $7$.

Answer 3

Configuração $n=7$ nós obtemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{k=0}^n}&\color{blue}{\binom{n}{k}\binom{2n}{k}^{-1}\sum_{r=k}^{2n}\binom{r}{k}\binom{2n}{r}}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{k!(2n-k)!}{(2n)!}\sum_{r=k}^{2n}\frac{r!}{k!(r-k)!}\,\frac{(2n)!}{r!(2n-r)!}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\sum_{r=k}^{2n}\binom{2n-k}{r-k}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n }{k}\sum_{r=0}^{2n-k}\binom{2n-k}{r}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^{2n-k}\\ &=2^{2n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{2^k}\\ &=2^{2n}\left(1+\frac{1}{2}\right)^n\\ &\,\,\color{blue}{=6^n} \end{align*} e a reivindicação segue.