Stone-Weierstrass como teorema.

Question

Deixei $f$ ser uma função contínua com valor real em $[-1,1]$ de tal modo que $f(x) = f(-x),$ para todos $x \in [-1,1].$ Mostre isso para cada $\varepsilon \gt 0$ há um polinômio $p(x)$ com coeficientes racionais tais que para cada $x \in [-1,1],$ $$\left \lvert f(x) - p(x^2) \right \rvert \lt \varepsilon.$$

Como posso provar isso? Qualquer ajuda será muito apreciada.

Desde já, obrigado.

Answer 1

Deixe-nos primeiro provar o seguinte.

1. Suponha $p$ é um polinômio em $[-1, 1]$ e deixar $\varepsilon>0.$ Existe um polinômio $q$ Com coeficientes racionais tais que $\|p-q\|<\varepsilon.$

Prova. Para ver isso deixe$\deg(p)=n$ e deixar $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_0.$ Escolha os racionais $b_i$ de tal modo que $|a_i-b_i|<\varepsilon/(n+1).$ Agora observe que para qualquer $x\in [-1, 1]$ temos $|p(X)-q(x)|<\varepsilon.$

Agora, a segunda coisa que precisa ser provada é que uma função uniforme $f$ Pode ser aproximado por um polinômio par em $x^2.$ Acredito (por causa do seu comentário) que você não tem dificuldade em mostrar isso.

Espero que agora você possa ver como sua reivindicação segue.