Teoria K de $C^{*}(X)$

Question

Eu sou novo na K-Theory para $C^{*}$-álgebra e $C^{*}$-álgebra de grupos.

E se $X$ é o grupo de bijeções de suporte finito de números naturais, então qual é a Teoria K de $C^{*}(X)$?

Eu estava planejando calcular $C^{*}(X)$ primeiro e depois suas projeções e suas classes de homotopia, mas não consegui determinar $C^{*}(X)$ em primeiro lugar.

Aqui está a definição do $C^{*}$-álgebra de um grupo:

https://pages.uoregon.edu/ncp/Courses/2016ShanghaiCrPrdFiniteGps/Slides/Lecture1_Print_NoP.pdf

Alguém pode me ajudar?

Muito obrigado.

Answer 1

O grupo que você descreve deve ser o grupo simétrico infinito $S_{\infty}$. o$K$-teoria de sua $C^*$-álgebra foi determinada por Kerov e Vershik em

O K -functor (grupo Grothendieck) do grupo simétrico infinito https://link.springer.com/article/10.1007/BF02104985

O resultado principal pode ser resumido da seguinte forma: Let $\mathcal{A}$ser o anel de polinômios simétricos em infinitas variáveis. Isso é isomórfico para$\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$, Onde $a_i$ é o $i$a função simétrica elementar em um número infinito de argumentos. Então$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \mathcal{A}\,/\, (a_1 - 1)\mathcal{A}\ . $$ O isomorfismo envia a representação irredutível $\pi_{\lambda}$ correspondendo ao diagrama de Young $\lambda$ para a função Schur correspondente a $\lambda$. Este também é um isomorfismo de anéis, onde a estrutura do anel no lado esquerdo vem da observação de que$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \lim_n K_0(C^*S_n) $$ e multiplica duas representações $\pi_1 \colon S_n \to GL(V)$ e $\pi_1 \colon S_m \to GL(W)$ para $$ Ind_{S_n \times S_m}^{S_{n+m}}(\pi_1 \otimes \pi_2)\ , $$ Onde $S_n \times S_m$ senta dentro $S_{n+m}$ com $S_n$ permutando o primeiro $n$ elementos e $S_m$ permutando o outro $m$.