Teste de Weierstrass M e funções analíticas

Question

Estudei como resolver alguns PDEs usando o método de Fourier. Mas, eu gostaria de saber por que não usamos apenas a série Taylor para resolver isso. Depois de um pouco de pesquisa, encontrei dois resultados interessantes: 1º) Convergência uniforme vs. Convergência pontual, que entendi muito bem; 2ª) Teorema de Cauchy-Kowaleski, que eu não consegui.

Minha tentativa de resolver, de maneira geral, DEs (via Série de Taylor) parece estar errada de acordo com o primeiro tópico. Isso porque só posso garantir a convergência pontual. Aqui está o que tenho feito até agora: substituo todas as funções em sua forma da série Taylor. Então, concluo que convergirá se:

$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{f^{(n+1)}(z_0)}{f^{(n)}(z_0)} \right| \leq M \in \mathbb{R}_+\tag{1}\label{1} $$

A fim de alcançar \ eqref {1}, eu reescrevo $f$em sua forma Taylor Series e, em seguida, aplique o teste de razão. No entanto, ao que parece, ele garantirá uma convergência pontual que não é suficiente.

Portanto, minha pergunta é: podemos usar o Weierstrass M-Test para verificar se a série de Taylor convergirá ou não de maneira uniforme? Em caso afirmativo, como devo proceder com os cálculos? Vamos assumir todas as funções$f$ são analíticas complexas em seus domínios abertos e simplesmente conectados.

Como posso encontrar cada $M_n$ (https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_M-test)?

Qualquer ajuda e recomendações são bem-vindas. obrigado

Answer 1

O que eu acho que você está faltando é a definição do raio de convergência.

1. Uma série de poder $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n $ converge absolutamente e pontualmente para $|z|<R$, Onde $R$ é o raio de convergência, definido por $$ \frac1R \overset{\triangle}= \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.$$ Na verdade, para cada $z$ de tal modo que $|z|<R$, temos $|z|/R<1$, então podemos usar a fórmula da série geométrica da seguinte maneira: $$ \sum_{n=0}^\infty |a_n z^n| = \sum_{n=0}^\infty (|a_n|^{1/n} |z|)^n \le \sum_{n=0}^\infty \left (\frac1R|z|\right)^n = \frac1{1-|z|/R} < \infty. $$

2. Depois de saber que ele converge para alguma bola aberta $|z|<R$, você pode verificar isso para cada $\epsilon>0$, converge uniformemente no conjunto $\{z:|z|<R-\epsilon\}$. Isso é feito pelo teste Weierstrass M:$$ |a_n z^n| \le \left(\frac1R|z|\right)^n \le \left(\frac{R-\epsilon}R\right)^n =: M_n $$ Desde a $\sum_{n=0}^\infty M_n < \infty$ (novamente, série geométrica), $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ converge absolutamente e uniformemente.

Answer 2

As séries de potências não convergem uniformemente em seu disco de convergência. Mas eles fazem isso localmente, o que significa que eles convergem uniformemente em cada subconjunto compacto de seu disco de convergência. O teste Weierstraß-M pode ser usado para provar isso.

Primeiro, observe que cada subconjunto compacto de um disco centrado em $z_0$ está contido em um CD também centrado em $z_0$. Portanto, é suficiente para mostrar convergência uniforme em discos compactos$K_r(z_0)$ com raio $r$ menor que o raio de convergência $R$. Em tal disco, temos

$$\vert a_k(z-z_0)^k\vert=\vert a_k\vert\vert z-z_0\vert^k\leq\vert a_k\vert r^k,$$

e a série com esses termos é conhecida por convergir porque a série de potências original converge absolutamente. Agora podemos aplicar o teste para mostrar convergência uniforme no CD. Mas geralmente não convergirá para todo o disco de convergência. Por exemplo, a expansão em série da função exponencial não. Nem a expansão em série de$\frac{1}{1-x}$ em $0$.