tirando o que é conhecido

Question

De randomservices.org , uma propriedade central na expectativa condicional é$$ E[r(X) E[Y|X]] = E[r(X) Y] $$ Onde $X$ é uma variável aleatória levando valores em $S \subseteq \mathbb{R}^n$, $Y$ é uma variável aleatória levando valores em $T \subseteq \mathbb{R}$e $r:S\to\mathbb{R}$ é qualquer função.

Como podemos usar isso para provar a seguinte regra de "tirar o que é conhecido": $$ E[s(X) Y | X] = s(X) E[Y|X] $$ para alguma função $s:S\to\mathbb{R}$.

Eu vejo isso para qualquer valor particular $x \in S$, temos $s(x) E[Y|X]$passando pelas integrais, mas não tenho certeza de como usar a propriedade central para mostrar isso para a variável aleatória$X$. Minha tentativa está abaixo.

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Considerar $E[s(X) Y | X]$ como uma variável aleatória $f(X)$. Então, pela propriedade central , temos isso para qualquer$r:S\to\mathbb{R}$ \begin{align*} E[f(X) \, r(X) \, E[Y|X] ] = E[r(X) \, s(X) \, Y]. \end{align*} Escolher $r(X) = 1 | X$ então nós temos \begin{align*} E[f(X) \, 1 \, E[Y|X] \mid X] = E[1 \, s(X) \, Y \mid X]. \end{align*} Intuitivamente eu quero puxar $s(X)$ fora da expectativa, mas não tenho certeza da maneira apropriada de justificar / fazer isso matematicamente.

Answer 1

Use a definição de expectativas condicionais . Para qualquer$A\in\mathcal{B}(S)$, $$ \mathsf{E}[s(X)\mathsf{E}[Y\mid X]\times 1_A(X)]=\mathsf{E}[s(X)Y\times 1_A(X)], $$ onde nós levamos $r(X)=s(X)1_A(X)$ na "propriedade central".