Transformação integral reduzida?

Question

Eu descobri que as seguintes integrais são iguais:

$$ \int_0^1sx^{s-1}\exp\bigg(\frac{t}{\log(x)}\bigg)~dx=\int_0^1\exp\bigg(\frac{st}{\log(x)}\bigg)~dx $$

Deixei $f^s(x)=x^s,$ então o LHS pode ser escrito como $$ \int_0^1\frac{d}{dx}\bigg(x^s\bigg)\exp\bigg(\frac{t}{\log(x)}\bigg)~dx$$

Isso me lembra da transformação de Mellin em um suporte limitado.

O RHS é uma espécie de transformação de Mellin disfarçada?

Parece ser. Isso significa que para uma constante$r>0$ a integral a seguir representa uma transformação de Mellin em que o único objeto no integrando é o kernel:

$$ \int_0^1 \exp\bigg(\frac{r}{\log(x)}\bigg)~dx $$

Portanto, para este kernel específico, acho que a transformação de Mellin só pode ser escrita usando o próprio kernel.

Isso está correto?

Answer 1

Para $s > 0$, assumindo que converge absolutamente em algum intervalo $(a,b)$

$$\int_0^\infty x^{s-1}f(x)dx=\int_0^\infty x^{s-1}f(e^{\log x})dx=\frac1s \int_{0}^\infty f(e^{\frac1s \log t})dt\tag{1}$$

Então, sim, o RHS é uma transformação de Mellin e Laplace disfarçada.

Mais divertido ao pedir (por continuação analítica) para qual $f$ e em que sentido (analítico funcional) a igualdade permanece verdadeira para $\Re(s)\in (a,b)$ complexo.