Transversal e intersecção de duas folheações

Oct 28 2020

Deixei $\mathcal{F}_1$ e $\mathcal{F}_2$ser duas folheações de uma variedade. Nós dizemos isso$\mathcal{F}_1\pitchfork \mathcal{F}_2$ E se $T_p L^{(1)}+T_pL^{(2)}=T_p M$ para qualquer $p\in M$, Onde $L^{(1)}$ e $L^{(2)}$ são as folhas calha $p$.

Agora se tivermos isso $\mathcal{F_1}\pitchfork \mathcal{F}_2$, nós definimos $\mathcal{F}_1\cap \mathcal{F}_2$ para ser a foliação onde as folhas são os componentes conectados de $L^{(1)}\cap L^{(2)}$. Agora queremos verificar se é uma foliação com codimensão a soma das codimensões de$\mathcal{F}_1$ e $\mathcal{F}_2$.

Acho que a ideia é usar o teorema da função implícita, mas não estou chegando a lugar nenhum em concreto. Isso é pegar gráficos foliados para$\mathcal{F}_1$, $(x_1,...,x_k,y_1,...,y_{m-k})$, e gráficos foliados para $\mathcal{F}^2$, $(w_1,...,w_k',z_1,...,z_{m-k'})$ de tal modo que $p\cap L^{(1)}\cap L^{(2)}=\{p\in U: y_1(p)=ct,...,y_{m-k}(p)=ct,z_1(p)=ct,...,z_{m-k'}(p)=ct\}$. Agora, a partir disso, tentei construir um novo gráfico de coordenadas para obter o resultado, mas não cheguei a lugar nenhum.

Qualquer ajuda ou sugestão com isso são apreciadas. Desde já, obrigado.

Tentativa de solução:

A primeira coisa que notamos é que desde $\mathcal{F}_1$ e $\mathcal{F}_2$ são folheações que teremos que as folhas desta nova folheação cobrirão $M$, são separados, pois estamos pegando os componentes conectados, e serão conectados por caminho, pois estamos pegando os componentes conectados e $M$está conectado localmente ao caminho. Agora precisamos encontrar os gráficos foliados de$\mathcal{F}$e verifique sua dimensão. Deixei$p\in M$, note que desde $L^{(1)}$ e $L^{(2)}$ são transversais, teremos isso $L^{(2)}\cap L^{(1)}$ é uma subvariedade de $L^{(1)}$. Usando a forma normal local, sabemos que existe um conjunto aberto de $p\in L^{(2)}, U,$ e gráfico de coordenadas $(V,\phi)=(V,x_1,...,x_k)$ para $L^{(1)}$ de tal modo que $U\cap L^{(1)}=\{p\in V : x^{k'}(p)=...=x^k(p)=0\}$, Onde $k'=dim L_1 -(dim L_1 + dim L_2 -dim M)= codim \mathcal{F}_2$. Agora observe que a maneira como demos a estrutura múltipla para$L^{(1)}$ foi que a topologia foi gerada pelas placas $L^{(1)}\cap U'$ Onde $U'$ era um gráfico foliado para $p$, e o gráfico de coordenadas era a restrição do gráfico foliado aos componentes não constantes. Então nós temos o$(x_1,...,x_k)$ estão associados a um gráfico de $M$, $(x^1,...,x^k,y^1,...,y^{d-k})$ de modo que os componentes conectados de $L^{(1)}\cap U'$ são da forma $\{p\in U' : y^1(p)=ct,...,y^{d-k}(p)=ct\}$. Agora temos$U$ é uma placa para $U''\cap L^{(2)}$. Nós também sabemos que$p$ estará em um componente conectado de $L^{(1)}\cap L^{(2)}$, que agora denotamos por $L$. Se considerarmos que o gráfico foliado é$(W:=U'\cap U'',x^1,...,x^k,y^1,...,y^{d-k})$ teremos que os componentes conectados de $W\cup L$ são da forma $\{p\in W: y^1(p)=ct,...,y^{d-k}(p)=ct,x^{k-k'}(p)=,...,x^k(p)=0\}$. Para ver a declaração sobre a dimensão, notamos que$codim \mathcal{F}_1+ dim L^{(1)}-(dim L^{(1)}+dim L^{(2)}-dim M)=codim\mathcal{F}_1 +codim \mathcal{F}_2 $.

Respostas

1 DIdier_ Oct 29 2020 at 05:20

Aqui está, eu acho, uma resposta. Deixei$\mathcal{D}_1$ seja a distribuição tangente da foliação $\mathcal{F}_1$ e $\mathcal{D}_2$ aqueles de $\mathcal{F}_2$. Essas distribuições são totalmente integráveis, ou seja$[\mathcal{D}_i,\mathcal{D}_i]\subset \mathcal{D}_i$. Deixei$\mathcal{D} = \mathcal{D}_1\cap \mathcal{D}_2$ser a distribuição de interseção. Tem classificação constante como em qualquer$p\in M$, $\dim\mathcal{D}_p = \dim\left({\mathcal{D}_1}_p\cap{\mathcal{D}_2}_p\right)=\dim{\mathcal{D}_1}_p+\dim{\mathcal{D}_2}_p-\dim\left({\mathcal{D}_1}_p+{\mathcal{D}_2}_p\right)$, e depois $\mathrm{codim}\mathcal{D}_p = \mathrm{codim}{\mathcal{D}_1}_p + \mathrm{codim}{\mathcal{D}_2}_p$ (lembre-se disso $\mathcal{F}_1\pitchfork \mathcal{F}_2$)

Agora, vamos mostrar que $\mathcal{D}$ é integrável, isto é $[\mathcal{D},\mathcal{D}]\subset \mathcal{D}$. Deixei$X,Y$ ser campos vetoriais em $\mathcal{D}$. Como$\mathcal{D}\subset \mathcal{D}_1$, $[X,Y]$ está em um campo vetorial em $\mathcal{D}_1$. Simetricamente, é um campo vetorial em$\mathcal{D}_2$. Então, é um campo vetorial em$\mathcal{D}_1 \cap \mathcal{D}_2 = \mathcal{D}$, e $[\mathcal{D},\mathcal{D}]\subset \mathcal{D}$. Pelo teorema de Frobenius, existe uma foliação$\mathcal{F}$ aquele feixe tangente é $\mathcal{D}$. As subvariedades integrais são as interseções das folhas das folheações anteriores.

Editar Aqui está outra estratégia. Primeiro, mostre que a interseção de duas subvariedades transversais é uma subvariedade. Deixei$N$ e $N'$ ser duas subvariedades transversais com $\mathrm{codim} N= p, \mathrm{codim} N' =q$. Deixei$x \in N\cap N'$ser corrigido. Faça um gráfico$\varphi : U \to \mathbb{R}^n$ centrado em $x$. Então$\varphi (U\cap N)$ e $\varphi(U\cap N')$ são subvariedades de $\varphi(U)$ de codimensão $p$ e $q$. Existe$f = (f_1,\ldots,f_p): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ e $g=(g_1,\ldots,g_q): \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^q$ submersões suaves de modo que $\varphi(U\cap N) = f^{-1}(\{0\})$ e $\varphi(U\cap N')= g^{-1}(\{0\})$. Deixei$h = (f_1,\ldots,f_p,g_1,\ldots,g_q) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{p+q}$. A condição de transversalidade garante que$h$ é uma submersão e, portanto, $\varphi(U\cap\left(N\cap N'\right)) = h^{-1}(\{0\})$ é uma subvariedade de $U\cap \mathbb{R}^n$ de codimensão $p+q$, e $U\cap (N \cap N') = \varphi^{-1}(h^{-1}(\{0\}) = (h\circ\varphi)^{-1}(\{0\})$ é uma subvariedade suave de codimensão $p+q$.

Deixei $\mathcal{F}^1$ e $\mathcal{F}^2$ ser duas folheações transversais lisas em $M^n$. E se$L^1$ e $L^2$ são folhas de $\mathcal{F}^1$ e $\mathcal{F}^2$, e se $L^1\cap L^2 \neq 0$, então o resultado acima mostra que $L^1\cap L^2$ é uma subvariedade suave de $M$ com codimensão $\mathrm{codim}L_1 + \mathrm{codim}L_2$. Como a dimensão das folhas de uma foliação é constante, se duas folhas transversais se cruzam, sua intersecção é uma subvariedade de dimensão$n - \mathrm{codim}\mathcal{F}^1 -\mathrm{codim}\mathcal{F}^2$.