Um exemplo explícito do lema de aproximação simples

Question

Acabei de obter o Simple Approximation Lemma no texto Real Analysis de Royden, e queria saber se alguém poderia fornecer um exemplo explícito desse lema. Abaixo, incluirei o Lema e uma função que satisfaça os critérios.

O Lema da Aproximação Simples: Deixe$f$ ser uma função mensurável de Lebesgue em um conjunto mensurável de Lebesgue $E$. E se$f$ é limitado em $E$ então para todos $\epsilon > 0$ existem funções simples $\phi_{\epsilon}$ e $\psi_{\epsilon}$ em $E$ de tal modo que:

$\phi_{\epsilon}(x) \leq f(x) \leq \psi_{\epsilon}(x), \forall x \in E \tag{1}$

$0 \leq \psi_{\epsilon}(x) - \phi_{\epsilon}(x) < \epsilon \tag{2}$

Então, a função $f: [0, 2\pi]\to[-1, 1]$ definido por $f(x) = \sin{x}$ é uma função mensurável de Lebesgue em um conjunto mensurável de Lebesgue, e é limitada, ou seja, pelo seguinte $|f(x)| \leq 1$, portanto, o Lema de Aproximação Simples se aplica (certo?). Alguém pode dar exemplos explícitos das funções simples$\phi_{\epsilon}$ e $\psi_{\epsilon}$?

Minha tentativa foi usar o fato de que $|f(x)| \leq 1$. Então, tentei as seguintes funções simples:

$\psi_{\epsilon} = 1 - \frac{\epsilon}{2}\tag{i}$

$\phi_{\epsilon} = -1 + \frac{\epsilon}{2}\tag{ii}$

No entanto, a propriedade (2) do Lema de Aproximação Simples falha, pois

$\psi_{\epsilon} - \phi_{\epsilon} = 2 - \epsilon.$

Answer 1

Deixei $\frac{1}{n} < \epsilon$. Vamos nos concentrar no intervalo$[0,\pi]$. Para$ 0 \leq k \leq n-1$. considere os conjuntos$E_k = emf^{-1}\mid_{[0,\pi]}((\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}])$.

Agora defina a função $\phi$ e $\psi$ do seguinte modo :

$$ \phi =\sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{n} \times \chi_{E_{k}} \hspace{0.2 cm} \phi(0)= \phi(\pi) = 0 \\ \psi = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k+1}{n} \times \chi_{E_{k}} \hspace{0.2 cm} \psi(0) = \psi(1) = 0$$

Para cada $x \in [0,\pi]$ temos $\phi(x) \leq f(x) \leq \psi(x)$ e $0 \leq \psi(x) - \phi(x) \leq \epsilon.$

Nota : Para um subconjunto de$E$ do intervalo acima. $\chi_{E}$ é a função característica desse subconjunto.

E este método pode ser facilmente estendido a todo o intervalo $[0,2\pi]$.