Um problema combinatório e a interpretação da probabilidade

Question

Para uma variável vetorial gaussiana $w\sim N(0,I_{n\times n})$, os momentos da norma quadrada são $\mathbb{E} \|w\|^{2 r} = \prod_{t=0}^{r-1} (n + 2 t)$.

Com base no teorema de Isserlis ,$\mathbb{E} \|w\|^{2 r}$ também pode ser avaliado como $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}(2 |p|-1)!!$$ Onde $\mathcal{P}([r])$ significa todas as partições no conjunto $[r]=\{1,\dots,r\}$, $\pi$ é uma partição, $p$ é um bloco em uma partição, $|\pi|$ e $|p|$ são o número de blocos e o número de elementos em um bloco.

Agora considere uma variante do problema acima. $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}\frac{1}{2}~(2 |p|-1)!!$$ A fórmula acima difere apenas dos momentos da norma quadrada da variável vetorial gaussiana com um fator $\frac{1}{2}$. Existe uma solução de produto finito semelhante e interpretação de probabilidade para a fórmula acima?

Answer 1

Fixar $n$. Deixar$$ G(x) = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!}\frac{x^i}{i!} = (1+x)^n. $$ Deixar $$ F(x) = \sum_{j\geq 1}\frac 12 (2j-1)!!\frac{x^j}{j!} = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}}-\frac 12. $$Pela Fórmula Composicional (Teorema 5.1.4 da Combinatória Enumerativa , vol. 2), o número que você deseja é$r!$ vezes o coeficiente de $x^r$ dentro $$ G(F(x)) = \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\right)^n. $$ Você pode expandir isso pelo teorema binomial e, em seguida, expandir cada termo em uma série de potências para obter uma fórmula para o seu número como uma soma com $n$ termos.