Um subespaço cujo complemento ortogonal é {0}

Question

Deixei $L$ ser um conjunto de todas as sequências limitadas de $\mathbb{R}$. Então é fácil mostrar que$L$é um espaço vetorial com respeito à adição normal e multiplicação escalar. Defina uma função em$L \times L$ dado por $$\langle(a_i) , (b_i)\rangle = \sum _{i = 1}^{\infty} {\frac{a_i b_i}{i^2}}.$$

Verificar se a função acima é um produto interno (produto escalar) é um cálculo de rotina.

O complemento ortogonal de um subconjunto $U$ de um espaço vetorial $L$ é $\,$ $U^* = \{\, A\in L: \, \langle A,B\rangle = 0 \, \text{and}\, \,\text{ for any} \,B\in U \,\}$.

Se o espaço vetorial é de dimensão finita e $\,U$ é o subespaço, então temos muitas propriedades interessantes como $U^{**} = U \,$ e qualquer vetor no espaço vetorial pode ser escrito exclusivamente como a soma dos vetores $U$ e $U^*$e muitos mais. Aqui observamos que se$U$ é um subespaço então $U^*$ não pode ser $\{ 0\}$ porque o complemento ortogonal de $\{0\}$ é o próprio espaço vetorial.

Aqui obviamente $L$não é um espaço vetorial de dimensão finita. Existe algum subespaço diferente de zero adequado de$L$ cujo complemento ortogonal é $\{0\}$ ?

Answer 1

Deixei $M:=\{(a_n):\exists m,\ n>m\Rightarrow a_n=0\}\subset L$ser o subespaço de sequências finitas. Então$M^\perp=\{0\}$.

Prova: Suponha $(b_n)\in M^\perp$ e considere para $m\in\mathbb{N}$, $$(a^m_n):=(1,2^2,\ldots,n^2,\ldots,m^2,0,\ldots)\in M$$

Então $$\forall m,\quad0=\langle (a^m_n),(b_n)\rangle=b_1+b_2+\cdots+b_m$$ implicando $(b_n)=0$.