Uma caixa contém 7 bolas brancas e 5 pretas.
Uma caixa contém 7 bolas brancas e 5 pretas. Se 3 bolas forem sorteadas simultaneamente ao acaso, qual é a probabilidade de que não sejam todas da mesma cor? Calcule a probabilidade do mesmo evento para o caso em que as bolas são sorteadas em sucessão com substituição entre sorteios.
Probabilidade de que não sejam todos da mesma cor $$= \frac{^7C_2\times ^5C_1}{^{12}C_3}+\frac{^5C_2\times ^7C_1}{^{12}C_3}=\frac{35}{44}$$
Para o segundo caso, eu fiz assim:
Probabilidade de que não sejam todas da mesma cor onde as bolas são desenhadas em sucessão com substituição entre os desenhos $$= \frac{7^2\times 5}{12^3}+\frac{5^2\times 7}{12^3}=\frac{35}{144}$$
Mas no meu livro a resposta é $\frac{35}{48}$.
Respostas
Que tal contar o evento complementar - ou seja, as três bolas sorteadas são da mesma cor? Isso parece mais fácil. Existem dois casos mutuamente exclusivos: ou todas as bolas sorteadas são brancas ou todas são pretas. No primeiro caso, há claramente$$\binom{7}{3} = \frac{7!}{3! 4!} = 35$$maneiras de escolher três bolas brancas. No segundo caso, existem$$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! 2!} = 10$$maneiras de escolher três bolas pretas. Uma vez que existem$$\binom{5 + 7}{3} = \frac{12!}{3! 9!} = 220$$ maneiras de escolher quaisquer três bolas, a probabilidade complementar de obter todas da mesma cor é $$\frac{35 + 10}{220} = \frac{9}{44},$$ assim, a probabilidade desejada de cores diferentes é $$1 - \frac{9}{44} = \frac{35}{44}.$$ Isso corresponde ao seu cálculo.
Quando as bolas são sorteadas com reposição, contamos novamente os resultados complementares, mas o cálculo é diferente porque o resultado de cada sorteio é independente e distribuído de forma idêntica. Em cada um dos três sorteios, a probabilidade de obter uma bola branca é$7/12$. Portanto, a probabilidade de obter três bolas brancas é$$(7/12)^3 = \frac{343}{1728}.$$ Da mesma forma, a probabilidade de obter três bolas pretas é $$(5/12)^3 = \frac{125}{1728}.$$ Portanto, a probabilidade total de obter a mesma cor em três sorteios é $$\frac{343 + 125}{1728} = \frac{13}{48},$$ e a probabilidade desejada de obter as duas cores em três sorteios é $$1 - \frac{13}{48} = \frac{35}{48}.$$ Portanto, seu livro está correto para este segundo cenário.
Onde você errou? O problema é que a probabilidade de obter, digamos, duas bolas brancas e uma preta não é simplesmente$$\frac{7^2 \cdot 5}{12^3}.$$A probabilidade real é três vezes maior, porque os resultados podem ser ordenados; por exemplo,$$\{w, w, b\}, \{w, b, w\}, \{b, w, w\}$$são todos resultados distintos. Portanto, você descobrirá que, se multiplicar sua resposta por$3$, você obtém a resposta do livro: $$\frac{35}{144} \cdot 3 = \frac{35}{48}.$$
Outra forma de raciocinar sobre isso é observar que quando o número de sorteios é fixo - neste caso, $n = 3$sorteios - então o número de bolas brancas sorteadas determina o número de bolas pretas sorteadas. Por exemplo, se você tirar três bolas com a substituição, dizer que obteve exatamente duas bolas brancas é o mesmo que dizer que obteve exatamente uma bola preta. Ou se você tiver zero bolas brancas, isso é o mesmo que dizer que você tem três bolas pretas.
Então, dizer que você tem bolas de ambas as cores é equivalente a dizer que você tem $1$ ou $2$bolas brancas, nem mais, nem menos. Então, o número aleatório$X$ de bolas brancas é uma variável aleatória binomial com $n = 3$ e probabilidade de tirar uma bola branca $p = 7/12$; ie,$$\Pr[X = x] = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} = \binom{3}{x} (7/12)^x (5/12)^{3-x}, \quad x \in \{0, 1, 2, 3\}.$$ Assim temos $$\Pr[X = 1] + \Pr[X = 2] = \binom{3}{1} \frac{7^1 5^2}{12^3} + \binom{3}{2} \frac{7^2 5^1}{12^3} = \frac{35}{48}.$$
Sua segunda resposta com substituição saiu por um fator de $3$, porque a ordem é importante no $12^3$ denominador e, portanto, deve ser levado em consideração no numerador
A probabilidade de uma bola preta e duas bolas brancas é ${3 \choose 1} \frac{7^2\times 5}{12^3}$ e a probabilidade de duas bolas pretas e uma bola branca é ${3 \choose 2} \frac{7\times 5^2}{12^3}$