Uma identidade Laplaciana de Evans

Question

No Teorema 1 (Resolvendo a equação de Poisson) na página 24 das Equações Diferenciais Parciais (2e) de Evans comparando a equação (11) e (13), parece haver a igualdade de

$$ \int_{\mathbb{R}^n \setminus B(0,\epsilon)} \Phi(y)\Delta_x f(x-y) \,dy = \int_{\mathbb{R}^n \setminus B(0,\epsilon)} \Phi(y)\Delta_y f(x-y) \,dy.$$

Para contexto: $\Phi$ é a solução fundamental para a equação de Laplace, $-\Delta u = f$ dentro $\mathbb{R}^n$, e $B(0,\epsilon)$ é a bola de raio $\epsilon$ centrado em zero.

De onde vem a igualdade em relação aos laplacianos? É por isso que

$$ \Delta_xf(x-y) = \Delta_yf(x-y) $$

aguarde?

Eu vi isso em outra referência (página 149 de Equações diferenciais parciais em ação (3e) - Salsa). Esta é uma propriedade geral da convolução ou é algo mais sutil? Em termos de nível de compreensão, explicações sem confiança na teoria da medida seriam preferidas.

Answer 1

Basta fazer o cálculo. Por exemplo, em 1 dimensão, temos que$\Delta_x = \partial_{xx}$. Usando a regra da cadeia, vemos que$$\Delta_x f(x-y) = \partial_x (1\cdot f'(x-y))= (1)^2 \cdot f''(x-y) = f''(x-y)$$ por outro lado temos $$\Delta_y f(x-y) = \partial_y ((-1)\cdot f'(x-y))= (-1)^2 \cdot f''(x-y) = f''(x-y).$$ O analógico é verdadeiro para $n$-dimensões.

Para resumir: para $\partial_y$ obtemos um sinal de menos adicional da regra da cadeia, mas como o fazemos duas vezes no Laplaciano, eles se cancelam.