Uma identidade para Ext para anéis

Question

Deixei $A$ser um anel noetheriano de dois lados (que devemos supor ser Gorenstein primeiro para que tudo seja bem definido, caso contrário, só é bem definido até uma conjectura, que afirma que todo módulo diferente de zero tem grau finito). Para simplificar, também podemos assumir primeiro que$A$ é uma álgebra de dimensão finita e os módulos são gerados de forma finita (mas exemplos gerados de forma não finita ou exemplos não Gorenstein também são bem-vindos, mas estou interessado principalmente em álgebras de dimensão finita).

Para um módulo $M$, defina o grau de $M$ Como: $g_M:= \inf \{ i \geq 0 | Ext_A^i(M,A) \neq 0 \}$. Defina o Ext-dual de$M$ ser estar $U(M):=Ext_A^{g_M}(M,A)$ e o Ext-dual duplo de $M$ Como $G(M):=U(U(M))=Ext_{A^{op}}^{g_{Ext_A^{g_M}(M,A)}}(Ext_A^{g_M}(M,A),A)$. Observe que$G(M)$ é sempre diferente de zero.

Pergunta: sempre temos isso $G^l(M) \cong G^{l-1}(M)$ (pelo menos na categoria estável de $A$) para alguns $l \geq 1$ e módulos indecomponíveis $M$, de modo que a sequência do $G^l(M)$ se tornar estacionário?

Isso é verdade para $A$ autoinjetiva ou hereditária (nesses casos, temos $G(M) \cong M$ para todos $M$) Em todos os exemplos, isso foi mesmo verdade para$l \leq 2$ então eu me pergunto se temos $G^2(M) \cong G(M)$ (pelo menos na categoria estável).

Answer 1

Parece que qualquer módulo $M$ cujo duplo $A$-dual $M^{**}$não é reflexivo dá um contra-exemplo. Nesse caso$G(M) = M^{**}$ é uma soma de $G^2(M) = (M^{**})^{**}$ com complemento não trivial, e $G^2(M)$não pode ser reflexivo, pois essa propriedade é herdada por summands. Repetindo este argumento com$G(M)$ em vez de $M$, nós vemos que $G^l(M)$ é uma soma de $G^{l+1}(M)$ com complemento não trivial para cada $l \geq 0$.

Aqui está um exemplo sobre um anel não Gorenstein:

Levar $S$ para ser o único módulo simples sobre $A = k[x,y]/(x,y)^2$. Então$g_S = 0$ e os seus $A$-dual é $S^* \cong S^{\oplus 2}$ com $g_{S^*} = 0$, de modo que $G(S) = S^{**} \cong S^{\oplus 4}$ e em geral $G^{l}(S) = S^{\oplus 4l}$.