Uma soma combinatória

Question

• Qualquer ideia para avaliar a soma $$ \sum_{j=m}^{k}\frac{\binom{m}{2m - j\,\,}}{\binom{k}{j}} \quad\mbox{with}\quad m \leq k < 2m - 1. $$
• Eu encontrei a quantia para $k=2m-1$. Na verdade, verifica-se que$$ \sum_{j = m}^{2m - 1}\ \frac{\binom{m}{2m-j\,\,}} {\binom{2m - 1\,\,}{j}} = 2m\left(H_{2m} - H_{m}\right), $$ Onde $H_{j}$ é o $j$-ésimo número harmônico.

Answer 1

Aqui , o pacote Zeilberger da maxima (dê uma olhada em Petkovsek, Wilf, Zeilberger "A = B" para obter os detalhes sangrentos) diz que sua soma não pode ser somada por Gosper. Isso significa que não existe um formulário fechado simples para isso.

Answer 2

Por um curto período, eu esperava ser capaz de expressar o resultado em termos de funções hipergeométricas, mas falhei.

Se deixarmos $k=m+n$, o problema se reduz a $$S_n=\sum_{j=m}^{m+n} \frac{\Gamma (j+1)\,\,\Gamma (m+n+1-j)}{\Gamma (m+n+1)} \,\binom{m}{2 m-j} $$ que pode escrever $$S_n=\frac{\Gamma(m+1)}{n!\ \Gamma(m+n+1)} P_{n}(m)$$ Onde $P_n$ é um polinômio de grau $2n$ (não parece ser fatorável para qualquer $n$)

Os primeiros são $$\left( \begin{array}{cc} n & P_n \\ 0 & 1 \\ 1 & m^2+m+1 \\ 2 & m^4+2 m^3+m^2+4 \\ 3 & m^6+3 m^5-2 m^4-9 m^3+13 m^2+18 m+36 \\ 4 & m^8+4 m^7-10 m^6-44 m^5+53 m^4+184 m^3+100 m^2+576 \end{array} \right)$$

Não fui capaz de encontrar qualquer padrão para os coeficientes [exceto que o termo constante é $(n!)^2$ e que o coeficiente de $m^{2n}$ é $1$ (!!)].

A única coisa que observei é que, se $n$ é par, o termo é $m$ está sistematicamente ausente.

Sem qualquer prova disso, não creio que pudesse existir uma forma fechada para um general $n$.