Valor esperado e massa de probabilidade acima de zero

Question

Deixei $Z$ ser uma variável aleatória com com pdf $f(z)$. Estou me perguntando se o valor esperado$E(Z)$ é proporcional à densidade de massa de $f(z)$isso está na faixa positiva. Isso é algo que eu suponho que pode acontecer devido à intuição gráfica. Se isso for verdade, como podemos mostrar isso?

Acho que pode ser útil começar com as definições da massa de $f(z)$ acima de zero

$\int_0^\infty f(z) ~dz$

e o valor esperado

$E(Z) = \int_{-\infty}^\infty z f(z) ~dz = \int_{-\infty}^0 z f(z) ~dz + \int_0^\infty z f(z) ~dz$

mas não tenho certeza de como continuar a partir daqui.

Edit: Meu objetivo seria algo como $E(Z) \propto \int_0^\infty f(z) ~dz$.

Answer 1

Não apenas as duas quantidades não são literalmente proporcionais, mas também não são aproximadamente proporcionais.

Reivindicação : para quaisquer números reais$E$ e $p$ com $0<p<1$, existe uma variável aleatória $X$ de tal modo que $\Bbb E(X)=E$ e $\mathop{\rm Pr}(X>0) = p$.

Construção de uma variável aleatória discreta: deixe$a>\max\{0,\frac Ep\}$seja qualquer número real. Deixei$X$ pegue o valor $a$ com probabilidade $p$, e pegue o valor $-\frac{pa-E}{1-p}$ com probabilidade $1-p$. Observe que$a$ é positivo por suposição, enquanto $b$ é negativo pelo limite inferior em $a$. Portanto$\mathop{\rm Pr}(X>0) = p$, e $$ \Bbb E(X)= p\cdot a + (1-p) \cdot \bigg({-}\frac{pa-E}{1-p}\bigg) = pa-(pa-E) = E. $$

Se alguém quiser uma variável aleatória contínua, pode aproximar essa variável aleatória discreta tão próximo quanto desejado.