ทำ $U^c \subseteq B$ หมายถึง $B^c \subseteq U$เหรอ?

Question

สมมติ $U, B$ เป็นทั้งชุดย่อยของ $X$ และฉันต้องการทราบว่า $U^c \subseteq B$ หมายถึง $B^c \subseteq U$. ดูเหมือนว่ากรณีนี้จะเป็นจริงเพราะฉันวาดแผนภาพเวนน์ไว้สองสามอันและดูเหมือนจะค้างไว้ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าเป็นเช่นนั้นหรือไม่เพราะฉันเชื่อว่าอาจมีตัวอย่างที่โต้แย้งได้ ใครพอจะให้ความคิดฉันบ้าง? ขอบคุณ!

Answer 1

สั้น ๆ : ถ้า $x\in B^c$ แล้ว $x\notin B$ดังนั้น $x\notin U^c$ดังนั้น $x\in U$.

Answer 2

ถ้า $x \in B^\complement$. ฉันอ้างว่าจริง$x \in U$ เพราะ

ถ้า $x \notin U$ แล้ว $x \in U^\complement \subseteq B$ ดังนั้น $x \in B$ ขัดแย้ง $x \in B^\complement$.

ดังนั้นการรวมจึงถือ หรือคุณสามารถใช้ข้อเท็จจริงเชิงตรรกะ

$$p \to q \iff \lnot q \to \lnot p$$ นำไปใช้กับ $p:= (x \in B^\complement)$ และ $q:= (x \in U)$.