Alanı Kapsayan Soru
Bu ifade Bredon'un Topology and Geometry'sindedir.
Aşağıdaki ifadeyi göstermek istiyorum.
İzin Vermek $p_i:W_i\to Y, i=1,2$ haritaları öyle kaplıyor $W_1$ basitçe bağlı ve izin ver $w_i\in W_i$ ve $y\in Y$ öyle ol $p_i(w_i)=y$. Sonra eşsiz bir harita var$g:W_1\to W_2$ öyle ki $g(w_1)=w_2$ ve $p_2\circ g=p_1$. Dahası,$g$ bir kaplama haritasıdır.
Kitap, ifadenin bu Lemma'dan kaynaklandığını söylüyor.
Lemma. İzin Vermek$W$bağlandı. İzin Vermek$p:X\to Y$ kapsayan bir harita olmak ve $f:W\to Y$bir harita. İzin Vermek$g_1$ ve $g_2$ haritalar ol $W\to X$ ikisi de $f$. Eğer$g_1(w)=g_2(w)$ bir noktaya kadar $w\in W$ sonra $g_1\equiv g_2$.
Lemma, asansörün varlığını varsaydı. Bu yüzden lemma'nın benzersizliğini göstermek için kullanıldığını düşünüyorum.$g$ama varlığını bilmiyorum. Asansörün varlığı için genel kaldırma kriterini düşündüm, ancak$W_1$yerel olarak yol bağlantılı. Bu yüzden burada bağlantının ne kadar basit çalıştığını bilmiyorum. Herhangi bir yardım veya fikir? Şimdiden teşekkürler.
Yanıtlar
Bredon'un kitabındaki "Covering Spaces" bölümü,
Bu bölümde ele alacağımız alanların tümü Hausdorff olacak, ark yönünde bağlı olacak ve yerel olarak ark yönünde bağlı olacaktır.
Bredon'un açıklamanın (Sonuç 4.5) doğrudan Lemma 4.4'ten geldiğini söylediğinde yanıldığını düşünüyorum. Bunun yerine, Sonuç 4.2'den izler. Bu Sonuç, haritanın$p_1 : (W_1,w_1) \to (Y,y)$ benzersiz bir asansör var $g : (W_1,w_1) \to (W_2,w_2)$. Bunun anlamı$p_2 \circ g = p_1$.
Bunu göstermek için kalır $g$bir kaplama haritasıdır. Bredon, bunun haritaları kaplamanın tanımında basit bir uygulama olduğunu iddia ediyor. Bunun gerçekten basit olduğunu söyleyemem .
İlk önce bunu gösteririz $g$örten. İzin Vermek$z_2 \in W_2$. Herhangi birini seç$z_1 \in W_1$. Dan beri$W_2$ kavisli bağlı, bir yol var $u : I \to W_2$ öyle ki $u(0) = g(z_1)$ ve $u(1) = z_2$. Yol$p_2 \circ u : I \to Y$ başlar $p_2(u(0)) = p_2(g(z_1)) = p_1(z_1)$ ve bu nedenle benzersiz bir asansöre sahiptir $v : I \to W_1$ öyle ki $v(0) =z_1$. Sonra$g \circ v : I \to W_2$ başlar $g(v(0)) = g(z_1)$. Sahibiz$p_2 \circ g \circ v = p_1 \circ v = p_2 \circ u$. Böylece$u$ ve $g \circ v$ asansörler $p_2 \circ u$ her ikisi de başlar $g(z_1)$. Böylece$u = g \circ v$ ve $z_2 = u(1) = g(v(1)) \in g(W_1)$. Şunu unutmayın ki$g$ ima eder ki her biri için $M \subset Y$ $$g(p_1^{-1}(M)) = p_2^{-1}(M). \tag{1}$$
Şimdi her birini göstereceğiz $z_2 \in W_2$eşit şekilde örtülmüş açık, kavisli olarak bağlı bir mahalleye sahiptir. İzin Vermek$V_1$ ve $V_2$ kavisli bağlı mahalleleri açık olmak $p_2(z_2)$ içinde $Y$ eşit olarak kapsanan $p_1$ ve tarafından $p_2$. Açık, kavisli bir bölge var$V$ nın-nin $p_2(z_2)$ içinde $Y$ öyle ki $V \subset V_1 \cap V_2$. Set$V$ her ikisi tarafından da eşit olarak kapsanmaktadır $p_1$ ve $p_2$. Yazmak$p_i^{-1}(V) = \bigcup_{\alpha_i \in A_i} U_{i,\alpha_i}$ ikili ayrık açık $U_{i,\alpha_i} \subset W_i$ öyle ki kısıtlamalar $p_{i,\alpha_i} : U_{i,\alpha_i} \stackrel{p_i}{\to} V$homeomorfizmlerdir. Dolayısıyla hepsi$U_{i,\alpha_i} $kavisli bağlantılıdır. Dan beri$g$ süreklidir, her biri $g(U_{1,\alpha_1})$ kavisli olarak bağlantılıdır ve bu nedenle benzersiz bir $U_{2,\phi_g(\alpha_1)}$(kavisli olarak bağlanmış açık kümelerin ayrık birleşiminde yer alır, bu nedenle bu kümelerden yalnızca biri onunla kesişebilir). Yazmak$g_{\alpha_1} : U_{1,\alpha_1} \stackrel{g}{\to} U_{2,\phi_g(\alpha_1)}$. Sahibiz$p_{2,\phi_g(\alpha_1)} \circ g_{\alpha_1} = p_{1,\alpha_1}$dolayısıyla $g_{\alpha_1} = p_{2,\phi_g(\alpha_1)}^{-1} \circ p_{1,\alpha_1}$ bunu gösterir $g_{\alpha_1}$bir homeomorfizmdir. İşlev$\phi_g : A_1 \to A_2$ tarafından kuşatılmalı $(1)$.
Şimdi $z_2$ benzersiz bir $U_{2,\bar \alpha_2}$. İzin Vermek$A' = \phi_g^{-1}(\bar \alpha_2)$. Sonra$g^{-1}(U_{2,\bar \alpha_2}) = \bigcup_{\alpha_1 \in A'} U_{1, \alpha_1}$ bunu gösterir $U_{2,\bar \alpha_2}$ eşit olarak kapsanmaktadır $g$.