Fazla saymayı anlamak

Question

Fazla saymayı nasıl ayarlayacağımı anlamaya çalışıyorum. Aşağıdaki örneği anlamak çok zor, yani tüm kelimeleri ve anlamlarını anlıyorum, ancak "ikna" hissetmek için mücadele ediyorum.

Olduğunu göstermektedir:

$$\frac{(2 n) !}{2^{n} \cdot n !}=(2 n-1)(2 n-3) \cdots 3 \cdot 1$$

Ders kitabında verilen sezgisel açıklama (bir hikaye aracılığıyla):

\ begin {dizi} {l} \ text {Her iki tarafın da ayrılmanın yollarının sayısını saydığını göstereceğiz} 2 n \\ \ text {insanlar dahil} n \ text {ortaklık. } 2 n \ text {kişiyi alın ve onlara} 1 \ text {to} \\ 2 n \ text {arası kimlik numaralarını verin. İnsanları bir sıraya göre sıralayarak ve sonra} \\ \ text {ilk ikisi bir çift, sonraki ikisi bir çift, vb. Diyerek ortaklıklar oluşturabiliriz. Bu, bir faktör} \\ \ text {of} n! \ cdot 2 ^ {n} \ text {çünkü çiftlerin sırası önemli değildir ve her} \\ \ text {çifti içindeki sıra önemli değildir. Alternatif olarak,} 2 n-1 \\ \ text {kişinin partneri için seçenek} 1, \ text {sonra} 2 n-3 \ text {kişi için seçenekler} 2 \ text olduğunu belirterek olasılıkları sayın {(veya kişi} 3, \ text {if} \\ \ text {kişi} 2 \ text {kişi} 1 \ text {) ile zaten eşleştirildi, vb. } \ end {dizi}

Birisi bana açıklayabilir mi 1) faktör neden $n! \cdot 2^n$ ve 2) RHS nasıl elde edilir?

Answer 1

İlk kısım, ABCDEF dersek, sonra (AB) (CD) (EF) = (BA) (CD) (EF) ve ayrıca (AB) (CD) (EF) = (CD) (AB) ( EF) ile $2^n$ birinci türün varyasyonları ve $n!$ ikincinin varyasyonları.

O zaman bizde de var $A$ ile ortak olabilir $BCDEF$, sonra gizemli kişi $x$ kalanla ortak olabilir $3$, vb. .

Ve $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{8\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = 5\cdot3\cdot1$.