Gram-Schmidt yöntemi $P_3$

Question

Eğer $P_3$üçüncü derece polinomların bir vektör uzayıdır. Bunun temeli bilinmektedir$P_3$ dır-dir ${( 1,x,x^2 , x^3})$

ve $\langle p, q\rangle = \int_{0}^{1} p(x)q(x)\, dx.$ geçerli bir ürün $P_3$

Gram-Schmidt yöntemini kullanarak bir temel elde etmeye çalışıyorum.$P_3$ yukarıdaki iç ürüne göre ortonormaldir.

Kısmi çözümler veya benzeri sorunlar bulsam da açıklamalar sınırlı.

PS. İlk sorumu göndermeden önce kuralları okudum. Benzer problemler bulsam da yöntemi ve hesaplamaları tam olarak anlamadım.

Additional Sources  

1. kısmi çözümü olan aşağıdaki alıştırma, ancak kalan değerleri nasıl hesaplayacağımdan emin değilim.
   

1. benzer ama bu soru $P_2$ https://math.stackexchange.com/questions/710038/finding-an-orthonormal-basis-for-the-space-p-2-with-respect-to-a-given-inner-p

Umarım herhangi bir kuralı ihlal etmedim. Mevcut koşullar nedeniyle Öğretmenime yüz yüze soramadığım için burada sormak son umudumdu.

Answer 1

Graham Schmidt.

İlk temel vektörünüz için aday yapmak için bir vektör seçin.

$w_0 = 1$

Normalleştirin. Dan beri$\|w_0\| = 1$ biz o adım zaten tamamlanmıştır.

$e_0 = w_0 = 1$

İkinci temel vektörünüz.

$w_1 = x$

Projeksiyonunu çıkarın $e_1$ üstüne $x.$

$e_1^* = x - \langle e_1,x\rangle e_1$

$e_1^* = x - \int_0^1 x \ dx = x-\frac 12$

Normalleştirin ...

$e_1 = \frac {e_1^*}{\|e_1^*\|}$

$\|e_1^*\|^2 = \langle e_1^*,e_1^*\rangle = \int_0^1 (x-\frac 12)^2 \ dx\\ \int_0^1 x^2 -x + \frac 14\ dx = \frac 13 - \frac 12 + \frac 14 = \frac 1{12}\\ e_1 = \sqrt {12} x - \sqrt 3$

$w_2 = x^2\\ e_2^* = w_2 - \langle e_0,w_2\rangle - \langle e_1,w_2\rangle$

Normalleştirin ...

köpürtün, durulayın, tekrarlayın.

Answer 2

Gram-Schmidt nedir?

Belirli bir temeli birimdik bir temele dönüştürmenin bir yoludur.

Ortonormal taban nedir?

Temel olarak tanımlanırsa $\{b_1, b_2, b_3,..., b_n\}$, o zaman temel birimdiktir ancak ve ancak $$<b_i, b_j> = \begin{cases}0 & i \neq j\\ 1 & i = j\end{cases}$$

Bunun için motivasyon?

Vektör uzayını temsil etmenin zarif bir yoludur ve dikdörtgen bir koordinat sistemine paralellikler çizmeye yardımcı olabilir ve Fourier serisi genişletmeleri gibi şeylere yardımcı olabilir.

Süreç

Temel süreç, bir temel vektörle başlamaya ve önceden eklenenlere ortonormal olan kümeye yeni vektörler eklemeye dayanır - bu nedenle bu kümeyi eleman eleman oluştururuz

Başlangıç ​​noktası: Başlangıç ​​noktası olarak herhangi bir vektör seçilebilir. Varsın olsun$v_1 = \frac{b_1}{||b_1||}$

Şimdi setteki bir sonraki vektörü alırsanız, $b_2$, bir birimdik vektörü nasıl elde edersiniz $v_1$?

Vektör $v_2 = b_2 - \langle v_1,b_2\rangle v_1$ ortogonal olacak $v_1$, esas olarak bileşenini kaldırdığımız için $b_2$ e paralel $v_1$ve sadece dikey bileşenle kalacağız. Ayrıca normalleştirmeliyiz $v_2$ ortonormalite elde etmek için büyüklüğüne bölerek

Şimdi alalım $b_3$. Her ikisine de paralel olan bileşenleri kaldırmamız gerekiyor$v_1$ ve $v_2$ve sonra sonucu normalleştirin

Bu nedenle $v_3' = b_3 - \langle b_3, v_1 \rangle v_1 - \langle b_3, v_2 \rangle v_2$

$v_3 = \frac{v_3'}{||v_3'||}$

Tüm vektörler birimdik vektörlere dönüştürülene kadar bu işleme devam edebilirsiniz.

TLDR

1. Temel vektör seçin $v_1$ mevcut temelinizin herhangi bir normalleştirilmiş vektörü olarak

2. $$v_k' = b_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle b_k, v_i \rangle v_i$$

3. $$v_k = \frac{v_k'}{||v_k'||}$$

Answer 3

ÖZET: (sıralı) bir temel verildiğinde Gram matrisini oluşturabiliriz $G$Temel vektörlerin iç çarpımları. Bir kare matrisin sütunları olarak bir ortonormal taban verilir$W$ öyle ki $W^T GW = I.$ Yani, ortonormal bir tabanın katsayıları (orijinal temelde), $W.$

ORİJİNAL: Simetrik bir matris verildiğinde $H,$ tersinir bir matris bulmak için yöntemler var $P$ öyle ki $P^T HP = D$köşegendir. Sizin durumunuzda, matris, taban vektörlerinin iç çarpımlarının Gram matrisidir.

$$ \left( \begin{array}{rrrr} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\ \end{array} \right) $$

Bu, Hilbert'in matrisidir veya sonsuz matrisin en azından kare üst sol köşesidir ve tam olarak Hilbert'in tarzıyla oluşturulmuştur. https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_matrix

İle çarptım $420$ bir tamsayı matrisi elde etmek için, ardından sorduğum yöntemi uyguladım. http://math.stackexchange.com/questions/1388421/reference-for-linear-algebra-books-that-teach-reverse-hermite-method-for-symmetr

$$ P^T H P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{ 1 }{ 2 } & 1 & 0 & 0 \\ \frac{ 1 }{ 6 } & - 1 & 1 & 0 \\ - \frac{ 1 }{ 20 } & \frac{ 3 }{ 5 } & - \frac{ 3 }{ 2 } & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 420 & 210 & 140 & 105 \\ 210 & 140 & 105 & 84 \\ 140 & 105 & 84 & 70 \\ 105 & 84 & 70 & 60 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & - \frac{ 1 }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 6 } & - \frac{ 1 }{ 20 } \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{ 3 }{ 5 } \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{ 3 }{ 2 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} 420 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 35 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 7 }{ 3 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{ 3 }{ 20 } \\ \end{array} \right) $$

Tekrar aynı 420 ile bölündüğümüzde, buluyoruz $$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{ 1 }{ 2 } & 1 & 0 & 0 \\ \frac{ 1 }{ 6 } & - 1 & 1 & 0 \\ - \frac{ 1 }{ 20 } & \frac{ 3 }{ 5 } & - \frac{ 3 }{ 2 } & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & - \frac{ 1 }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 6 } & - \frac{ 1 }{ 20 } \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{ 3 }{ 5 } \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{ 3 }{ 2 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ 1 }{ 12 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 1 }{ 180 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{ 1 }{ 2800 } \\ \end{array} \right) $$

Birim matrisi elde etmek için, şimdi en solda ve en sağda köşegen matrisle çarpıyoruz

$$ \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \sqrt 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \sqrt 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 20 \sqrt 7 \\ \end{array} \right) $$

Son olarak, istenen birimdik taban, SÜTUNLAR'dır.

$$ \left( \begin{array}{rrrr} 1 & - \frac{ 1 }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 6 } & - \frac{ 1 }{ 20 } \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{ 3 }{ 5 } \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{ 3 }{ 2 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \sqrt 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \sqrt 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 20 \sqrt 7 \\ \end{array} \right) $$

orijinal sıralı temel için katsayılar olarak $(1,x,x^2 x^3).$

Bunlar verir $$ \color{red}{ 1,} \; \; \color{blue}{ \sqrt 3 \cdot (2x-1) ,} \; \; \color{green}{ \sqrt 5 \cdot (6 x^2 -6x+1),} \; \; \color{magenta}{ \sqrt 7 \cdot (20 x^3 - 30 x^2 + 12 x -1)} $$