İki NDR çiftinin çarpımı

Question

Bu, Mayıs'ın Cebirsel Topolojisindeki bir lemma hakkında bir sorudur. $(X,A)$ ve $(Y,B)$ NDR çiftidir, öyleyse $(X\times Y,X\times B\cup A\times Y)$.

Tanım olarak $(X,A)$ bir harita varsa bir NDR çifti $u:X\to I$ ve bir homotopi $h:X\times I\to X$ öyle ki $u^{-1}(0)=A$ ve $h(x,0)=x$ hepsi için $x\in X$, $h(a,t)=a$ hepsi için $a\in A$ ve $t\in I$, ve $h(x,1)\in A$ hepsi için $x\in u^{-1}([0,1))$.

Varsayalım $(h,u)$ ve $(j,y)$ temsil etmek $(X,A)$ ve $(Y,B)$ NDR çiftleri olarak ve tanımlayın $k:X\times Y\times I\to X\times Y$ izin vererek $$k(x,y,t)=\begin{cases} (h(x,t),j(y,tu(x)/v(y)))&\text{if }v(y)\geq u(x)\\ (h(x,tv(y)/u(x)),j(y,t))&\text{if }u(x)\geq v(y). \end{cases} $$ Anlıyoruz $u(x)/v(y)=1=v(y)/u(x)$ Eğer $u(x)=v(y)=0$. Sorum şu: sürekliliğini nasıl kontrol edebiliriz?$k$?

Answer 1

Bunu göstermelisin $k$ alt kümelerde süreklidir $C$ ve $D$ nın-nin $X\times Y\times I$ tarafından tanımlandı $v(y)\ge u(x)$ ve $u(x)\ge v(y)$ sırasıyla ve tanımlar üzerinde hemfikir $C\cap D$. Bu yeterli, çünkü$C$ ve $D$ kapalı $X\times Y\times I$. Ayrıca kesişme noktasında eşleştikleri açıktır ve bu nedenle kanıtlanması gereken tek şey$k$ sürekli $C$ ve üzerinde $D$.

Her ikisinin de ispatları benzer olacak, o yüzden hadi $C$. Bunun açık olduğunu düşünüyorum$k$ tüm noktalarda süreklidir $v(y)>0$, Bu yüzden al $P=(x_0,y_0,t_0)$ ile $u(x_0)=v(y_0)=0$, yani $x_0\in A$ ve $y_0\in B$. Kesinlikle$h(x,t)$ sürekli $P$öyleyse sorarız $j(y,tu(x)/v(y))$aynı zamanda. Bu süreklilikten gelecek$tu(x)/v(y)$. Aldığımızı unutmayın$t_0u(x_0)/v(y_0)$ olmak $t_0$.

İzin Vermek $U$ mahalle olmak $t_0$ içinde $I$. Sürekliliği ile$u$ ve $v$bunu kanıtlamak yeterli $$E=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1,t(r/s)\in U\}$$ açık $$F=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1\}.$$ Sözleşmeden $0/0=1$, $$E=\{(0,0,t):t\in U\}\cup\{(r,s,t)\in F,s>0,rt/s\in U\}$$ hangisi açık $F$.