Marjinal CDF bulma yöntemi

Question

Bir ortak olasılık dağılım fonksiyonunun marjinal CDF'sini hesaplamak istiyorum. Ancak, kullanmam gereken sınırlardan emin değilim ve bunu doğrulamak istiyorum. Aşağıdaki ifadeye sahip olduğumu varsayalım:

$$f_{XY}(x,y)=x^2y$$ $$-1<x<1$$ $$0<y<\sqrt{3}$$

Marjinal CDF'yi hesaplamak istiyorum. Bunu yapmak istersem, ilişkiyi uygulayabilirim:

$$F_X(x) = \lim_{y \to \infty}F_{XY}(x,y)$$

Ve kümülatif CDF'yi şu şekilde hesaplıyorum:

$$F_{XY}(x,y) = \int_0^y \int_{-1}^xu^2v\,du\,dv = \frac{(x^3+1)y^2}{6}$$

Bunların doğru sınırlar olduğuna inanıyorum çünkü $f_{xy}$x <-1 veya y <0 olduğunda X ve Y'ye göre sıfırdır. Bu nedenle, alt sınırlar -1 ve 0 olmalıdır. Üst sınırlar da uygun görünür, bunun en küçük nedeni değil, x = 1'e izin verirsem ve$y=\sqrt{3}$, F = 1 ile sonuçlanırım. Şimdi marjinal CDF'yi X'e göre hesaplamak istersem, yapardım:

$$F_X(x) = \lim_{y \to \infty}F_{XY}(x,\infty)$$

Ancak basit bir ikame, 0 ile 1 arasında değiştiğinden, durum böyle olamayacak şekilde, sınırsız bir cevap verir. Dolayısıyla, sorularım (1) marjinal CDF'yi doğrudan PDF'den veya marjinal PDF'den hesaplayabilir miyim ve (2) kullanmalı mıyım? sınır $\sqrt{3}$doğrudan yukarıdaki ilişkiyi kullanarak marjinal CDF'yi hesaplarken? Kullanmam gerektiğine inanıyorum$\sqrt{3}$, çünkü pdf'yi düşünürsem, sıfır olduğunda $y>\sqrt{3}$ve pdf fonksiyonunun parçalı yapısı, Y'nin olasılığının 1 olduğu anlamına geldiği için $y>\sqrt{3}$.

Answer 1

İlk olarak, evet, marjinal CDF'yi ortak PDF'den hesaplayabilirsiniz:

$$P\left(X \leq x\right) = \int^{x}_{-1} \int^{\sqrt{3}}_0 f_{XY}\left(x,y\right) dy\,dx.$$

İkinci,

$$\lim_{y\rightarrow\infty} F_{XY}\left(x,y\right) = F\left(x,\sqrt{3}\right)$$

tarif ettiğiniz nedenlerden dolayı.

Answer 2

Kapat. Destekleri ve ötesini CDF'nize dahil etmelisiniz. Çünkü sonsuzluğa doğru olan sınırlar,$1$, belirttiğiniz gibi , bu belirtilmelidir.

$$\begin{align}\mathsf F_{\small X,Y}(x,y)&=\dfrac{\small((x^3+1)\mathbf 1_{-1\leqslant x<1}+2\cdotp\mathbf 1_{1\leqslant x})(y^2\mathbf 1_{0\leqslant y<\surd 3}+3\cdotp\mathbf 1_{\surd 3\leqslant y})}{6}\\[3ex]&=\begin{cases}0&:& x<-1\text{ or }y<0\\(x^3+1)y^2/6&:&-1\leqslant x<1, 0\leqslant y<\surd 3\\y^2/3&:&1\leqslant x, 0\leqslant y<\surd 3\\(x^3+1)/2&:&-1\leqslant x<1,\surd 3\leqslant y\\1&:& 1\leqslant x, \surd 3\leqslant y\end{cases}\end{align}$$

Tabii ki, marjinal CDF'nin nasıl elde edileceğini de gösteriyor.