Nasıl ${}_{kG}\mathcal{M}$ tensör kategorisi?

Question

İzin Vermek $G$ monoid ol ve $k$değişmeli bir ünital halka. Cebiri düşünüyoruz$$kG = \left\{\sum_{g \in G}' \alpha_g g: \alpha_g \in k\right\}$$olağan operasyonları ile. Okuduğum bazı notlar kategorinin${}_{kG}\mathcal{M}$ nın-nin $kG$-modüller, aşağıdakiler için bir tensör kategorisidir $\otimes$ daha fazla bilgi vermeden.

Soru : Tensör ürünü nedir$\otimes$İşte? Sol verildi$kG$-modüller $M,N$, İnanıyorum $M \otimes N$ değişmeli halka üzerindeki tensör ürününü belirtir $k$ nerede $M$ ve $N$ al $k$-kanonik yerleştirmeden modül $k \to kG$. Ancak üzerinde mantıklı bir eylemi nasıl tanımlarız?$M \otimes N?$

Deneyebiliriz $$g. (m\otimes n) = (gm) \otimes n$$ ama bu simetrik değil, bu yüzden muhtemelen aradığım şey değil!

Answer 1

Boş varken $k$-modül $A$, ortak değişmeli bir kömür cürufunun yapısına sahiptir, yani $k$-doğrusal haritalar $\delta : A \to A \otimes_k A$ ve $\epsilon : A \to k$ öyle ki aşağıdaki denklemler karşılanır:

$$\begin{aligned} (\epsilon \otimes_k \textrm{id}_A) \circ \delta & = \textrm{id}_A \\ (\textrm{id}_A \otimes_k \epsilon) \circ \delta & = \textrm{id}_A \\ (\delta \otimes_k \textrm{id}_A) \circ \delta & = (\textrm{id}_A \otimes_k \delta) \circ \delta \\ \sigma \circ \delta & = \delta \end{aligned}$$

(Buraya, $\sigma : A \otimes_k A \to A \otimes_k A$ aktarım mı $a \otimes b \mapsto b \otimes a$.)

Açıkça varsayalım $A$ var $k$temel $X$. Biz tanımlıyoruz$\delta$ ve $\epsilon$ açık $X$ aşağıdaki gibi ve uzat $k$doğrusal olarak:

$$\begin{aligned} \delta (x) & = x \otimes x \\ \epsilon (x) & = 1 \end{aligned}$$

Bunun işe yarayıp yaramadığını kontrol etmek kolaydır. $A$ortak değişmeli bir kömür cebirine. Böylece ne zaman$A$ ayrıca bir yapısına sahiptir $k$- yapan cebir $\delta : A \to A \otimes_k A$ ve $\epsilon : A \to k$ $k$-algebra homomorfizmleri - örneğin, çarpma ve birim şu şekilde tanımlanmışsa $k$- temelde bir monoid yapının doğrusal olarak genişletilmesi $X$ - herhangi birini döndürmek için skalerleri kısıtlayabiliriz $(A \otimes_k A)$-modülü bir $A$-modül. Özellikle, iki$A$-modüller $M$ ve $N$bariz bir $(A \otimes_k A)$-işlem $M \otimes_k N$, yani, $$(a \otimes b)(m \otimes n) = (a m) \otimes (b n)$$ ve bu bir $A$-işlem $M \otimes_k N$. Çoğaltmanın birlikte ilişkilendirilebilirliği$\delta$ yapar $\otimes_k$ kategorisindeki bir ilişkisel monoidal ürün $A$-modüller ve birlikte değişme özelliği onu simetrik yapar.