ParametricPlot3D, RevolutionPlot3D, ListPlots ve NIntegrate hakkında bir şüphe: "RevolutionListPlot3D" oluşturabilir miyim?

Question

Her şeyden önce: Bu soru, diferansiyel geometri üzerine Yüzeyler ve Gömmeler bağlamında yatmaktadır. Daha doğrusu Kruskal koordinatları bağlamında ve 3 boyutlu dinamik Schwarzschild Wormhole'un nasıl çizileceği bağlamında$[1]$, $[2]$, $[3]$. Ana bağlam referans olarak verilmiştir$[1]$.

BÖLÜM I) Bazı Fizik ve Matematik

I.1) Yerçekimi ve Kara Deliklerde "hiçbir şey"

Kara Delikler, Einstein Alan Denklemlerinin çözümleridir. Daha kesin bir şekilde, o zaman ana (tensör) denklemimiz var:

$$\textbf{Ric} - \frac{1}{2}R\textbf{g} = \frac{8\pi G}{c^{4}} \textbf{T} \tag{1}$$

Denklemin çözümleri $(1)$ metrik tensörler tarafından verilir:

$$\textbf{g} = g_{\mu\nu} \textbf{dx}^{\mu} \otimes \textbf{dx}^{\nu} \tag{2}$$

Bir koordinat (hesaplamaları yaptığımız yer) grafiğinde, metrik tensör bir manifold üzerindeki teğet vektör alanlarına etki ettiğinde kesin olarak skaler alan olan çizgi elemanı adı verilen skaler miktarı ifade edebiliriz.$\mathcal{M}$:

$$\textbf{g}(d\textbf{r},d\textbf{r}) = g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu} := ds^2\tag{3}$$

Bu nedenle, bir manifold üzerinde bir metrik tensör verildiğinde, Manifoldun geometrisini nokta bazında karakterize ederiz.

Tensörler hakkında önemli bir gerçek, genel kovaryans denen bir şeydir : fizik koordinatlardan bağımsızdır; doğa fenomeni koordinatları önemsemez; fiziğin denklemleri koordinatlardan bağımsız olmalıdır; doğa fenomenleri kartezyen koordinat sistemi kullanılarak iyi tanımlanabilir ve herhangi bir eğrisel koordinat sistemi tarafından eşit derecede iyi tanımlanabilir. Bu gerçeği yakalayan matematiksel nesne tensörlerdir.

Bu nedenle, soyut nesne (metrik tensör) koordinat dönüşümlerinden bağımsızdır:

$$ \textbf{g'} = \textbf{g} \tag{4}$$

Ancak koordinat çizelgeleri düzeyinde, koordinatları aşağıdaki gibi bir biçimde değişir:

$$ g'_{\mu\nu} = \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x'^{\mu}}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\nu'}}g_{\alpha \beta}\tag{5}$$

Bir Schwarzschild Kara Delik aşağıdaki metrik tensöre sahiptir:

$$ ds^{2} = -\Bigg(1- \frac{2GM}{c^{2}r}\Bigg)c^{2}dt^{2} + \frac{1}{1-\frac{2GM}{c^{2}r}}dr^{2} - r^{2}d\theta^{2} + r^{2}sin^{2}(\theta)d\phi^{2}\tag{6}$$

Koordinat grafiğini burada kolayca görebiliriz: uzay-zaman fiziğine uzanan küresel koordinatlar ;

$$\mathrm{Coordinates} \implies (t,r,\theta,\phi) \tag{7}$$

Bu nedenle, dört boyutlu bir uzay zamanı ele alıyoruz. $\mathcal{M}$.

I.2) Schwarschild Solucan Deliği Kabartma Prosedürü

Buradaki temel bağlam şudur: Dört boyutlu uzay zamanı temsil etmeliyiz $(6)$Üç boyutlu bir Öklid Uzayında. Ardından, 3B alana bir yüzey yerleştirmemiz gerekir.

Daha sonra iki boyutu "bastırırız", yani bir koordinat zamanı anını sabitleriz $t = T \in \mathbb{R}$ ve bir koordinat açısı $\theta = \frac{\pi}{2}$(aslında bu açı bize "eşitlik düzleminin" geometrisini verir). Bu nedenle diferansiyeller sıfırdır:$dt^{2} = dT^{2} = 0 $, $d\theta^{2} = d\frac{\pi}{2}^{2} = 0 $ ve sonra, metrik şu hale gelir:

$$ ds^{2} = \frac{1}{1-\frac{2GM}{c^{2}r}}dr^{2} + r^{2}d\phi^{2}\tag{8}$$

Sonraki adım, bunu "karşılaştırmak" tır. $2D$ Silindirik metrik tensörlü metrik tensör:

$$ ds^{2} = dz^{2} + dr^{2} + r^{2}d\phi^{2} \equiv \Bigg[ 1+\Bigg(\frac{dz}{dr}\Bigg)^{2} \Bigg]dr^{2} + r^{2}d\phi^{2}\tag{9}$$

Sonra şunu söylüyoruz:

$$\Bigg[ 1+\Bigg(\frac{dz}{dr}\Bigg)^{2} \Bigg]dr^{2} = \frac{1}{1-\frac{2GM}{c^{2}r}}dr^{2} \tag{10}$$

Sonuç olarak şu anlama gelir:

$$ \frac{dz}{dr} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^{2}r}}} - 1 \tag{11}$$

Bu işlevi bütünleştirebilir ve burada ilginin işlevini keşfedebiliriz:

$$ z(r) = \pm\int^{r}_{r_{0}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^{2}r}}} - 1 dr \tag{11}$$

Denklemi entegre etme $(11)$ ve işlevi kullanarak $\mathrm{RevolutionPlot3D}$ solucan deliği benzeri yüzeyi çiziyoruz

BÖLÜM II) Şüphem ve Ne Tür Bir Mathematica Programı Yazmak İstiyorum

II.1) Kruskal Sayısal Gömülü İntegrali

Örtülecek çok şey var, ama fiziksel gerçek şu ki: bu solucan deliği boğazı "zaman içinde sabit değil" Demek istediğim, Schwarzshild kara deliklerinde solucan deliği kara delik oluştuktan hemen sonra kapanıyor, sonra diğer koordinatlar kullanılarak, Kruskal-Szekeres koordinatları, "dinamik solucan deliği" ni "zamanın geçişinde" temsil edebiliriz, yani "kruskal zaman" ın her değeri için farklı bir yüzeye sahibiz!

Kruskal-Szekeres koordinatları için koordinatlar değişir:

$$\mathrm{Coordinates'} \implies (v,u,\theta,\phi) \tag{12}$$

Nerede $v$"Kruskal Zamanı" olarak adlandırılır. Bu koordinasyonun saatlerimizin zamanı olmadığını belirtmek önemlidir, aslında olay$t$saatlerimizin zamanı değil, daha çok zamansal bir imza taşırlar .

Bu koordinat grafiğinde Embbeding integrali (örneğin $(11)$ ) şu hale gelir:

$$ z(u) = \pm\int_{0}^{u} \frac{dz}{du}du = \pm\int_{r(0)}^{r(u)} \frac{dz}{du}\frac{du}{dr}dr = \pm\int_{r(0)}^{r(u)} \sqrt{g_{rr} - 1} dr =$$

$$ = \pm\int_{r(0)}^{r(u)} \sqrt{\frac{2\Big( e^{\frac{r}{2}} -v_{0}^2 \Big)}{re^{\frac{r}{2}} - 2\Big( e^{\frac{r}{2}} -v_{0}^2 \Big)}} dr \tag{12}$$

Yani, $v_{0}$ sabit Kruskal zamanlarıdır, bunlardan her biri için $v_{0}$ bir integrale sahip olabiliriz $u$! Ayrıca fonksiyonlar$r(u)$ aslında:

$$ r(u,v) =: 2m \Biggr[1+\mathrm{LambertW}\Bigg(\frac{u^2-v^2}{e}\Bigg) \Biggr] \tag{13}$$

Bu problemde fonksiyonun kullanımı $(13)$ daha hassas (için $m=1$ ),

$$ r(u) \equiv r(u,v_{0}) =: 2 \Biggr[1+\mathrm{LambertW}\Bigg(\frac{u^2-v_{0}^2}{e}\Bigg) \Biggr] \tag{14}$$

Bu nedenle, integral $(12)$ nihayet olur:

$$ z(u) = \pm\int_{r(0) = 2 \Biggr[1+\mathrm{LambertW}\Bigg(\frac{-v_{0}^2}{e}\Bigg) \Biggr] }^{r(u)=2 \Biggr[1+\mathrm{LambertW}\Bigg(\frac{u^2-v_{0}^2}{e}\Bigg) \Biggr]} \sqrt{\frac{2\Big( e^{\frac{r}{2}} -v_{0}^2 \Big)}{re^{\frac{r}{2}} - 2\Big( e^{\frac{r}{2}} -v_{0}^2 \Big)}} dr \tag{15}$$

Yani integrali hesaplamamız GEREKİYOR $(15)$ve bu sayısal bir görevdir. Kısacası (bir şekilde) integrali hesaplıyoruz$(15)$ve sonra 3D yüzeyi çiziyoruz:

$$ \textbf{X} = [r(u)cos(\phi), r(u)sin(\phi), z(u)] \tag{16}$$

II.2) NIntegrate Hesaplamamın Liste Grafiği

Bu yüzden NIntegrate kullanarak sayısal bir Entegrasyon yaptım ancak bunu basitçe bir $z[u]$işlev! Bir göz at:

Manipulate[
 ListPlot[Table[
   NIntegrate[
    Sqrt[((2*(Exp[(r)/(2)] - ((v0)^2))    ))/(r*
         Exp[(r)/(2)] - ((2*(Exp[(r)/(2)] - ((v0)^2))    )))], {r, \
(2*(1)*(1 + ( 
          LambertW[((( 0^2  ) - (v0^2))/(Exp[
               1]))]   ))), (2*(1)*(1 + ( 
          LambertW[((( u^2  ) - (v0^2))/(Exp[1]))]   )))}], {u, 0, k, 
    1}], Joined -> True, InterpolationOrder -> 1, Mesh -> All], {k, 1,
   25}, {v0, -0.99999, 0.99999}]

Bu kod aslında integrali sayısal olarak hesaplar, ancak onu $\mathrm{ParametricPlot3D}$.

BÖLÜM III) Bazı Zaten Yapılmış Gömme ve Öneriler

III.1) Referanslara dayalı eski kodum $[4]$

Aslında bir kullanıcı $[4]$sorunu "çözdünüz". Kodunu biraz uyarladım:

r[u_, v0_] := 1 + LambertW[(u^2 - v0^2)/E];
z[u_, v0_] := 
  2 Sqrt[(1/
        r[u, v0] Exp[-r[u, v0]] - (u Exp[-r[u, v0]]/(r[u, v0]))^2)];

Z = ParametricNDSolveValue[{z'[u] == z[u, v0], z[0] == 0}, 
  z, {u, -1, 1}, {v0}]

Manipulate[
 ParametricPlot3D[{r[u, v0] Cos[phi], r[u, v0] Sin[phi], 
   Z[v0][u]}, {u, -1, 1}, {phi, 0, 2 Pi}, PlotTheme -> "Classic", 
  PlotRange -> {{-1.5, 1.5}, {-1.5, 1.5}, {-10, 10}}, 
  BoxRatios -> {2, 2, 2}], {v0, -0.99999999999999, 0.99999999999999}]

Ama o bir diferansiyel denklemi çözüyor, integral hesaplamayı kullanmak istiyorum!

III.2) Hamilton's Dynamical Embbeding GIF

Bu Hamilton denen adam yapmak istediğim en büyük komployu yakaladı, aslında onun dinamik olay örgüsünü yeniden üretmek istiyorum, yani benim bu sorum ve tüm şüphelerim sadece onun planını yeniden üretmek için var. Aşağıdaki dinamik solucan deliği boğazına bir göz atabilirsiniz:

https://jila.colorado.edu/~ajsh/bh/schww_gif.html

III.3) Profesörümün tavsiyesi

Profesörüm bana ilginç bir olası çözüm söyledi:

Belki sayısal integrali çözmeyi deneyebilirsiniz. $u$ve türün birkaç puanını alın $(u, z)$ve sonra, örneğin düzgün bir işlev elde etmek için bu noktaları $z = z (u)$ve bu işlevi $\mathrm{ParametricPlot3D}$. Deneyin ve çalışıp çalışmadığını görün.

Doğru gibi görünüyor, ancak nasıl çevireceğimi bilmiyorum türünden birkaç nokta elde et$(u, z)$ve sonra, örneğin düzgün bir işlev elde etmek için bu noktaları $z = z (u)$ Mathematica koduna.

BÖLÜM IV) Şüphem

Dolayısıyla, bölüm II.2'deki sayısal entegrasyonum doğru görünüyor, bu nedenle bu eğriyi nasıl döndürebilirim sadece bir gerçek meselesi. Ama her şeyi yazdığım şekilde kullanamıyorum$\mathrm{RevolutionPlot3D}$, bu yüzden şüphem şu:

Nasıl kullanabilirim $\mathrm{RevolutionPlot3D}$ benim kodumda II.2 ?

$$ * * * $$

$[1]$ Schwarzschild solucan deliğinin gömülmesi ve zamanın evrimi -https://arxiv.org/abs/1107.4871

$[2]$ Gravitation - Misner, Thorne, Wheeler Sayfaları 612'den 615'e

$[3]$ Uzayzamandaki solucan delikleri ve yıldızlararası yolculukta kullanımları: Genel göreliliği öğretmek için bir araç -https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.15620

$[4]$ Solucan deliği gömme diyagramı

Answer 1

Çok uzun bir gönderi var ama cevap çok kısa. İlk adımda 3 işlevi tanımlıyoruz:

r0[u_?NumericQ, v0_?NumericQ] := 2 (1 + LambertW[(u^2 - v0^2)/E]);
z[u_?NumericQ, v0_?NumericQ] := 
 NIntegrate[
  Sqrt[2 (Exp[r/2] - v0^2)/(r*Exp[r/2] - 2*(Exp[r/2] - v0^2))], {r, 
   r0[0, v0], r0[u, v0]}, AccuracyGoal -> 2, PrecisionGoal -> 2]
wh[v0_?NumericQ] := 
 ParametricPlot3D[{r0[u, v0] Cos[phi], r0[u, v0] Sin[phi], 
   z[u, v0] Sign[u]}, {u, -1, 1}, {phi, 0, 2 Pi}, 
  SphericalRegion -> True, BoxRatios -> 1, FaceGrids -> None, 
  PlotStyle -> {Opacity[0.8]}, Boxed -> False, Axes -> False, 
  ImageSize -> Automatic, ViewPoint -> Front, Mesh -> None, 
  PlotLabel -> Row[{"\!\(\*SubscriptBox[\(v\), \(0\)]\) = ", v0 1.}]]

Ve sonra solucan deliğini görselleştiriyoruz (zaman alır):

Table[wh[x], {x, {-1 + 10^-5, -.5, 0., 
    1. - 10^-5 }}] // AbsoluteTiming