DSP - Biến đổi Cosin rời rạc DFT

DCT (Biến đổi Cosin rời rạc) là một dãy N đầu vào x (n), 0≤n≤N-1, như một phép biến đổi tuyến tính hoặc kết hợp của các cấp số nhân phức tạp. Kết quả là, các hệ số DFT nói chung là phức tạp ngay cả khi x (n) là thực.

Giả sử, chúng ta cố gắng tìm ra một phép biến đổi trực giao có cấu trúc N × N biểu thị một dãy số thực x (n) là một tổ hợp tuyến tính của dãy số cosin. Chúng tôi đã biết rằng -

$ X (K) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

Và $ x (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x (k) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

Điều này có thể thực hiện được nếu dãy điểm x (n) N là thực và chẵn. Do đó, $ x (n) = x (Nn), 0 \ leq n \ leq (N-1) $. Bản thân DFT kết quả là thực và đều. Những điều này làm rõ rằng chúng ta có thể thiết bị một phép biến đổi cosin rời rạc, cho bất kỳ chuỗi thực điểm N nào bằng cách lấy DFT điểm 2N của một "phần mở rộng chẵn" của chuỗi.

Về cơ bản, DCT được sử dụng trong xử lý hình ảnh và giọng nói. Nó cũng được sử dụng để nén hình ảnh và tín hiệu giọng nói.

$ DFT [s (n)] = S (k) = \ sum_ {n = 0} ^ {2N-1} s (n) W_ {2N} ^ {nk}, \ quad trong đó \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ S (k) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} + \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = N} ^ {2N -1} x (2N-n-1) W_ {2N} ^ {nk}; \ quad trong đó \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {- k / 2} + \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) [W_ {2N} ^ {nk} W_ {2N} ^ {k / 2} + W_ {2N} ^ {- nk} W_ {2N} ^ {- k / 2}]; \ quad trong đó \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} { N} (n + \ frac {1} {2}) k]; \ quad trong đó \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

DCT được định nghĩa bởi,

$ V (k) = 2 \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} {2} (n + \ frac {1} {2}) k] \ quad trong đó \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} S (k) \ quad hoặc \ quad S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2 }} V (k), \ quad trong đó \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = 2R [W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} ], \ quad trong đó \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $