Xử lý tín hiệu kỹ thuật số - Giới thiệu DFT

Giống như biến đổi Fourier tín hiệu thời gian liên tục, biến đổi Fourier thời gian rời rạc có thể được sử dụng để biểu diễn một chuỗi rời rạc thành biểu diễn miền tần số tương đương và hệ thống thời gian rời rạc LTI và phát triển các thuật toán tính toán khác nhau.

X (jω) trong FT liên tục, là một hàm liên tục của x (n). Tuy nhiên, DFT giải quyết việc biểu diễn x (n) với các mẫu phổ của nó X (ω). Do đó, công cụ toán học này mang nhiều tầm quan trọng về mặt tính toán trong việc biểu diễn thuận tiện. Cả hai trình tự tuần hoàn và không tuần hoàn đều có thể được xử lý thông qua công cụ này. Các trình tự tuần hoàn cần được lấy mẫu bằng cách kéo dài chu kỳ đến vô cùng.

Lấy mẫu miền tần số

Từ phần mở đầu, rõ ràng là chúng ta cần biết cách tiến hành lấy mẫu miền tần số tức là lấy mẫu X (ω). Do đó, mối quan hệ giữa biến đổi Fourier được lấy mẫu và DFT được thiết lập theo cách sau.

Tương tự, các chuỗi tuần hoàn có thể phù hợp với công cụ này bằng cách kéo dài chu kỳ N đến vô cùng.

Cho một dãy không tuần hoàn, $ X (n) = \ lim_ {N \ to \ infty} x_N (n) $

Xác định phép biến đổi Fourier của nó,

$ X (\ omega) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- jwn} X (K \ delta \ omega) $ ... eq (1)

Ở đây, X (ω) được lấy mẫu theo chu kỳ, tại mọi khoảng radian δω.

Vì X (ω) tuần hoàn tính bằng 2π radian, chúng tôi chỉ yêu cầu các mẫu trong phạm vi cơ bản. Các mẫu được lấy sau những khoảng thời gian cách đều nhau trong dải tần 0≤ω≤2π. Khoảng cách giữa các khoảng tương đương là $ \ delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ radian.

Đang đánh giá, $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N}, $ ... eq ( 2)

trong đó k = 0,1, …… N-1

Sau khi chia nhỏ các điều trên và hoán đổi thứ tự tổng kết

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} [\ displaystyle \ sum \ limit_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl)] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ ... eq (3)

$ \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) = x_p (n) = a \ quad tuần hoàn \ quad hàm \ quad của \ quad chu kỳ \ quad N \ quad và \ quad \ quad fourier của nó \ quad series \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $

trong đó, n = 0,1,… .., N-1; 'p'- là viết tắt của thực thể hoặc hàm tuần hoàn

Các hệ số Fourier là,

$ C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ k = 0,1,…, N- 1 ... eq (4)

So sánh phương trình 3 và 4, ta được;

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) $ k = 0,1,…, N-1 ... eq (5)

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {jw}) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_p (n) e ^ { -j2 \ pi nk / N} $ ... eq (6)

Từ mở rộng chuỗi Fourier,

$ x_p (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limit_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (\ frac {2 \ pi} {N} k) e ^ {j2 \ pi nk / N} $ ... eq (7)

Trong đó n = 0,1,…, N-1

Ở đây, chúng tôi nhận được tín hiệu tuần hoàn từ X (ω). $ x (n) $ chỉ có thể được trích xuất từ $ x_p (n) $, nếu không có răng cưa trong miền thời gian. $ N \ geq L $

N = chu kỳ $ x_p (n) $ L = chu kỳ $ x (n) $

$ x (n) = \ begin {case} x_p (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0, & Nếu không thì \ end {case} $

Việc lập bản đồ đạt được theo cách này.

Thuộc tính của DFT

Tuyến tính

Nó nói rằng DFT của một tổ hợp các tín hiệu bằng tổng DFT của các tín hiệu riêng lẻ. Chúng ta hãy lấy hai tín hiệu x ₁ (n) và x ₂ (n), có DFT s lần lượt là X ₁ (ω) và X ₂ (ω). Vì thế nếu

$ x_1 (n) \ rightarrow X_1 (\ omega) $ và $ x_2 (n) \ rightarrow X_2 (\ omega) $

Sau đó $ ax_1 (n) + bx_2 (n) \ rightarrow aX_1 (\ omega) + bX_2 (\ omega) $

Ở đâu a và b là các hằng số.

Đối diện

Các thuộc tính đối xứng của DFT có thể được suy ra theo cách tương tự như chúng ta suy ra các thuộc tính đối xứng DTFT. Chúng ta biết rằng DFT của dãy x (n) được ký hiệu là X (K). Bây giờ, nếu x (n) và X (K) là chuỗi có giá trị phức tạp, thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng

$ x (n) = x_R (n) + jx_1 (n), 0 \ leq n \ leq N-1 $

Và $ X (K) = X_R (K) + jX_1 (K), 0 \ leq K \ leq N-1 $

Thuộc tính đối ngẫu

Chúng ta hãy xem xét một tín hiệu x (n), có DFT được cho là X (K). Cho chuỗi thời lượng hữu hạn là X (N). Sau đó, theo định lý đối ngẫu,

Nếu, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Sau đó, $ X (N) \ longleftrightarrow Nx [((- k)) _ N] $

Vì vậy, bằng cách sử dụng định lý này nếu chúng ta biết DFT, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy chuỗi thời gian hữu hạn.

Thuộc tính liên hợp phức tạp

Giả sử, có một tín hiệu x (n), mà DFT của chúng còn được gọi là X (K). Bây giờ, nếu liên hợp phức của tín hiệu được cho là x * (n), thì chúng ta có thể dễ dàng tìm DFT mà không cần thực hiện nhiều phép tính bằng cách sử dụng định lý được hiển thị bên dưới.

Nếu, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Sau đó, $ x * (n) \ longleftrightarrow X * ((K)) _ N = X * (NK) $

Dịch chuyển tần số vòng tròn

Phép nhân dãy x (n) với dãy số mũ phức $ e ^ {j2 \ Pi kn / N} $ tương đương với sự dịch chuyển tròn của DFT với L đơn vị tần số. Đây là đặc tính kép của thuộc tính dịch chuyển thời gian vòng tròn.

Nếu, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Sau đó, $ x (n) e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X ((KL)) _ N $

Phép nhân hai dãy

Nếu có hai tín hiệu x ₁ (n) và x ₂ (n) và DFT tương ứng của chúng là X ₁ (k) và X ₂ (K), thì phép nhân các tín hiệu trong chuỗi thời gian tương ứng với tích chập tròn của DFT của chúng.

Nếu, $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) \ quad \ & \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (K) $

Định lý Parseval

Đối với các chuỗi có giá trị phức tạp x (n) và y (n), nói chung

Nếu, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) \ quad \ & \ quad y (n) \ longleftrightarrow Y (K) $

Sau đó, $ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X ( K) Y ^ * (K) $