DSP - Hoạt động dựa trên sự chuyển đổi tín hiệu
Tích chập của hai tín hiệu trong miền thời gian tương đương với phép nhân biểu diễn của chúng trong miền tần số. Về mặt toán học, chúng ta có thể viết tích chập của hai tín hiệu dưới dạng
$$ y (t) = x_ {1} (t) * x_ {2} (t) $$ $$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (p) .x_ {2 } (tp) dp $$Các bước cho tích chập
- Lấy tín hiệu x 1 (t) và đặt t = p tại đó để nó sẽ là x 1 (p).
- Lấy tín hiệu x 2 (t) và thực hiện bước 1 và biến nó thành x 2 (p).
- Thực hiện gấp của tín hiệu tức là x 2 (-p).
- Thực hiện dịch chuyển thời gian của tín hiệu trên x 2 [- (pt)]
- Sau đó, thực hiện phép nhân của cả hai tín hiệu. tức là $ x_ {1} (p) .x_ {2} [- (p − t)] $
Thí dụ
Hãy để chúng tôi thực hiện tích chập của tín hiệu bước u (t) với loại riêng của nó.
$ y (t) = u (t) * u (t) $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [u (p) .u [- (pt)] dp $
Bây giờ, t này có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0, được thể hiện trong các hình dưới đây
Vì vậy, với trường hợp trên, kết quả phát sinh với các khả năng sau
$ y (t) = \ begin {case} 0 và if \ quad t <0 \\\ int_ {0} ^ {t} 1dt & for \ quad t> 0 \ end {case} $
$ = \ begin {case} 0 & if \ quad t <0 \\ t, & t> 0 \ end {case} = r (t) $
Thuộc tính của Convolution
Giao hoán
Nó nói rằng thứ tự của tích chập không quan trọng, có thể được hiển thị bằng toán học như
$$ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = x_ {2} (t) * x_ {1} (t) $$Liên kết
Nó nói rằng thứ tự tích chập liên quan đến ba tín hiệu, có thể là bất kỳ thứ gì. Về mặt toán học, nó có thể được hiển thị như sau;
$$ x_ {1} (t) * [x_ {2} (t) * x_ {3} (t)] = [x_ {1} (t) * x_ {2} (t)] * x_ {3} (t) $$Phân phối
Hai tín hiệu có thể được thêm vào đầu tiên, và sau đó tích chập của chúng có thể được thực hiện thành tín hiệu thứ ba. Điều này tương đương với tích chập của hai tín hiệu riêng lẻ với tín hiệu thứ ba và được thêm vào cuối cùng. Về mặt toán học, điều này có thể được viết là;
$$ x_ {1} (t) * [x_ {2} (t) + x_ {3} (t)] = [x_ {1} (t) * x_ {2} (t) + x_ {1} ( t) * x_ {3} (t)] $$Khu vực
Nếu một tín hiệu là kết quả của tích chập của hai tín hiệu thì diện tích của tín hiệu là phép nhân của các tín hiệu riêng lẻ đó. Về mặt toán học, điều này có thể được viết
Nếu $ y (t) = x_ {1} * x_ {2} (t) $
Khi đó, Diện tích của y (t) = Diện tích của x 1 (t) X Diện tích của x 2 (t)
Mở rộng quy mô
Nếu hai tín hiệu được chia tỷ lệ thành một hằng số không xác định “a” và tích chập được thực hiện thì tín hiệu kết quả cũng sẽ được tích tụ thành cùng một hằng số “a” và sẽ được chia cho đại lượng đó như hình dưới đây.
Nếu, $ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = y (t) $
Sau đó, $ x_ {1} (at) * x_ {2} (at) = \ frac {y (at)} {a}, a \ ne 0 $
Sự chậm trễ
Giả sử một tín hiệu y (t) là kết quả từ tích chập của hai tín hiệu x1 (t) và x2 (t). Nếu hai tín hiệu bị trễ lần lượt là t1 và t2, thì tín hiệu thu được y (t) sẽ bị trễ bởi (t1 + t2). Về mặt toán học, nó có thể được viết là -
Nếu, $ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = y (t) $
Sau đó, $ x_ {1} (t-t_ {1}) * x_ {2} (t-t_ {2}) = y [t- (t_ {1} + t_ {2})] $
Các ví dụ đã giải quyết
Example 1 - Tìm tích chập của các tín hiệu u (t-1) và u (t-2).
Solution- Cho tín hiệu là u (t-1) và u (t-2). Phép chập của chúng có thể được thực hiện như hình dưới đây:
$ y (t) = u (t-1) * u (t-2) $
$ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} [u (t-1) .u (t-2)] dt $
$ = r (t-1) + r (t-2) $
$ = r (t-3) $
Example 2 - Tìm tích chập của hai tín hiệu cho bởi
$x_{1}(n) = \lbrace 3,-2, 2\rbrace $
$ x_ {2} (n) = \ begin {case} 2, & 0 \ leq n \ leq 4 \\ 0, & x> another \ end {case} $
Solution -
x 2 (n) có thể được giải mã dưới dạng $ x_ {2} (n) = \ lbrace 2,2,2,2,2 \ rbrace Originalfirst $
x 1 (n) trước đó đã cho $ = \ lbrace 3, -2,3 \ rbrace = 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} $
Tương tự, $ x_ {2} (z) = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4} $
Tín hiệu kết quả,
$ X (Z) = X_ {1} (Z) X_ {2} (z) $
$ = \ lbrace 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} \ rbrace \ times \ lbrace 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {-4} \ rbrace $
$ = 6 + 2Z ^ {- 1} + 6Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + 6Z ^ {- 4} + 6Z ^ {- 5} $
Thực hiện phép biến đổi Z nghịch đảo ở trên, chúng ta sẽ nhận được tín hiệu kết quả là
$ x (n) = \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $ Nguồn gốc lúc đầu
Example 3 - Xác định tích chập của 2 tín hiệu sau -
$x(n) = \lbrace 2,1,0,1\rbrace$
$h(n) = \lbrace 1,2,3,1\rbrace$
Solution -
Thực hiện phép biến đổi Z của các tín hiệu, chúng tôi nhận được,
$ x (z) = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 3} $
Và $ h (n) = 1 + 2Z ^ {- 1} + 3Z ^ {- 2} + Z ^ {- 3} $
Bây giờ tích chập của hai tín hiệu có nghĩa là nhân các phép biến đổi Z của chúng
Đó là $ Y (Z) = X (Z) \ times h (Z) $
$ = \ lbrace 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 3} \ rbrace \ times \ lbrace 1 + 2Z ^ {- 1} + 3Z ^ {- 2} + Z ^ {- 3} \ rbrace $
$ = \ lbrace 2 + 5Z ^ {- 1} + 8Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + 3Z ^ {- 4} + 3Z ^ {- 5} + Z ^ {- 6} \ rbrace $
Lấy phép biến đổi Z nghịch đảo, tín hiệu kết quả có thể được viết là;
$ y (n) = \ lbrace 2,5,8,6,6,1 \ rbrace $ ban đầu