Xử lý tín hiệu kỹ thuật số - Hệ thống tuyến tính

Một hệ thống tuyến tính tuân theo quy luật chồng chất. Định luật này là điều kiện cần và đủ để chứng minh tính tuyến tính của hệ thống. Ngoài ra, hệ thống còn là sự kết hợp của hai loại luật -

Luật cộng hưởng
Luật đồng nhất

Cả hai, quy luật đồng nhất và quy luật cộng được thể hiện trong các hình trên. Tuy nhiên, cần có một số điều kiện khác để kiểm tra xem hệ thống có tuyến tính hay không.

The conditions are -

Đầu ra phải bằng 0 đối với đầu vào bằng không.
Không được có bất kỳ toán tử phi tuyến tính nào trong hệ thống.

Ví dụ về toán tử phi tuyến tính -

(a) Các toán tử lượng giác - Sin, Cos, Tan, Cot, Sec, Cosec, v.v.

(b) Hàm mũ, lôgarit, môđun, hình vuông, hình lập phương, v.v.

Đầu vào x hoặc đầu ra y không được có các toán tử phi tuyến tính này.

Ví dụ

Hãy để chúng tôi tìm hiểu xem các hệ thống sau đây là tuyến tính.

a) $y(t) = x(t)+3$

Hệ thống này không phải là một hệ thống tuyến tính vì nó vi phạm điều kiện đầu tiên. Nếu chúng ta đặt đầu vào là 0, làm cho x (t) = 0, thì đầu ra không phải là 0.

b) $y(t) = \sin tx(t)$

Trong hệ thống này, nếu chúng ta cho đầu vào là 0, thì đầu ra sẽ trở thành 0. Do đó, điều kiện đầu tiên được thỏa mãn rõ ràng. Một lần nữa, không có toán tử phi tuyến tính nào được áp dụng trên x (t). Do đó, điều kiện thứ hai cũng được thỏa mãn. Do đó, hệ thống là một hệ thống tuyến tính.

c) $y(t) = \sin (x(t))$

Trong hệ thống trên, điều kiện đầu tiên được thỏa mãn vì nếu chúng ta đặt x (t) = 0, đầu ra cũng sẽ là sin (0) = 0. Tuy nhiên, điều kiện thứ hai không được thỏa mãn, vì có một toán tử phi tuyến tính. hoạt động x (t). Do đó, hệ thống không tuyến tính.