DSP - Thuộc tính Z-Transform

Trong chương này, chúng ta sẽ hiểu các tính chất cơ bản của phép biến hình Z.

Tuyến tính

Nó nói rằng khi hai hoặc nhiều tín hiệu rời rạc riêng lẻ được nhân với các hằng số, thì các biến đổi Z tương ứng của chúng cũng sẽ được nhân với các hằng số tương tự.

Về mặt toán học,

$$ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $$

Proof - Chúng tôi biết điều đó,

$$ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n)) Z ^ {- n} $

$ = a_1 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} + a_2 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (n) Z ^ {- n} $

$ = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $ (Do đó đã được chứng minh)

Ở đây, ROC là $ ROC_1 \ bigcap ROC_2 $.

Dịch chuyển thời gian

Thuộc tính dịch chuyển thời gian mô tả sự thay đổi trong miền thời gian trong tín hiệu rời rạc sẽ ảnh hưởng như thế nào đến miền Z, có thể được viết là;

$$ x (n-n_0) \ longleftrightarrow X (Z) Z ^ {- n} $$

Hoặc $ x (n-1) \ longleftrightarrow Z ^ {- 1} X (Z) $

Proof -

Cho $ y (P) = X (PK) $

$ Y (z) = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty (x (pk)) Z ^ {- p} $

Cho s = pk

$ = \ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- (s + k)} $

$ = \ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- s} Z ^ {- k} $

$ = Z ^ {- k} [\ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (m) Z ^ {- s}] $

$ = Z ^ {- k} X (Z) $ (Do đó đã được chứng minh)

Ở đây, ROC có thể được viết là Z = 0 (p> 0) hoặc Z = ∞ (p <0)

Thí dụ

U (n) và U (n-1) có thể được vẽ như sau

Phép biến đổi Z của U (n) cab được viết là;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n)] Z ^ {- n} = 1 $

Phép biến đổi Z của U (n-1) có thể được viết là;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n-1)] Z ^ {- n} = Z ^ {- 1} $

Vì vậy, ở đây $ x (n-n_0) = Z ^ {- n_0} X (Z) $ (Do đó đã được chứng minh)

Tỷ lệ thời gian

Thuộc tính Time Scaling cho chúng ta biết miền Z của tín hiệu sẽ như thế nào khi thời gian được chia tỷ lệ ở dạng rời rạc, có thể được viết là;

$$ a ^ nx (n) \ longleftrightarrow X (a ^ {- 1} Z) $$

Proof -

Cho $ y (p) = a ^ {p} x (p) $

$ Y (P) = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty a ^ px (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty x (p) [a ^ {- 1} Z] ^ {- p} $

$ = X (a ^ {- 1} Z) $ (Do đó đã được chứng minh)

ROC: = Mod (ar1) <Mod (Z) <Mod (ar2) trong đó Mod = Modulus

Thí dụ

Hãy để chúng tôi xác định phép biến đổi Z của $ x (n) = a ^ n \ cos \ omega n $ bằng cách sử dụng thuộc tính Tỷ lệ thời gian.

Solution -

Chúng ta đã biết rằng phép biến đổi Z của tín hiệu $ \ cos (\ omega n) $ được cho bởi -

$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (\ cos \ omega n) Z ^ {- n} = (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $$

Bây giờ, áp dụng thuộc tính Tỷ lệ thời gian, phép biến đổi Z của $ a ^ n \ cos \ omega n $ có thể được viết là;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a ^ n \ cos \ omega n) Z ^ {- n} = X (a ^ {- 1} Z) $

$ = [(a ^ {- 1} Z) ^ 2- (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n)] / ((a ^ {- 1} Z) ^ 2-2 (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n) +1) $

$ = Z (Za \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2az \ cos \ omega + a ^ 2) $

Sự khác biệt hóa thành công

Thuộc tính Phân biệt Kế tiếp cho thấy rằng biến đổi Z sẽ diễn ra khi chúng ta phân biệt tín hiệu rời rạc trong miền thời gian, theo thời gian. Điều này được hiển thị như dưới đây.

$$ \ frac {dx (n)} {dn} = (1-Z ^ {- 1}) X (Z) $$

Proof -

Xem xét LHS của phương trình - $ \ frac {dx (n)} {dn} $

$$ = \ frac {[x (n) -x (n-1)]} {[n- (n-1)]} $$

$ = x (n) -X (n-1) $

$ = x (Z) -Z ^ {- 1} x (Z) $

$ = (1-Z ^ {- 1}) x (Z) $ (Do đó đã được chứng minh)

ROC: R1 <Mod (Z) <R2

Thí dụ

Hãy để chúng tôi tìm biến đổi Z của một tín hiệu cho bởi $ x (n) = n ^ 2u (n) $

Bằng tài sản chúng tôi có thể viết

$ Zz [nU (n)] = -Z \ frac {dZ [U (n)]} {dz} $

$ = -Z \ frac {d [\ frac {Z} {Z-1}]} {dZ} $

$ = Z / ((Z-1) ^ 2 $

$ = y (cho) $

Bây giờ, Z [ny] có thể được tìm ra bằng cách áp dụng lại thuộc tính,

$ Z (n, y) = -Z \ frac {dy} {dz} $

$ = -Z \ frac {d [Z / (Z-1) ^ 3]} {dz} $

$ = Z (Z + 1) / (Z-1) ^ 2 $

Convolution

Điều này mô tả sự thay đổi trong miền Z của hệ thống khi một phép chập diễn ra ở dạng tín hiệu rời rạc, có thể được viết là:

$ x_1 (n) * x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (Z) .X_2 (Z) $

Proof -

$ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [\ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) x_2 (nk)] Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_n ^ \ infty x_2 (nk) Z ^ {- n}] $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (nk) Z ^ {- (nk)} Z ^ {- k}] $

Đặt nk = l, thì phương trình cab trên được viết dưới dạng:

$ X (Z) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [Z ^ {- k} \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x_2 (l) Z ^ {- l }] $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) X_2 (Z) Z ^ {- k} $

$ = X_2 (Z) \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (Z) Z ^ {- k} $

$ = X_1 (Z) .X_2 (Z) $ (Do đó đã được chứng minh)

ROC: $ ROC \ bigcap ROC2 $

Thí dụ

Hãy để chúng tôi tìm tích chập được cho bởi hai tín hiệu

$ x_1 (n) = \ lbrace 3, -2,2 \ rbrace $ ... (phương trình 1)

$ x_2 (n) = \ lbrace 2,0 \ leq 4 \ quad và \ quad 0 \ quad ở nơi khác \ rbrace $ ... (eq. 2)

Biến đổi Z của phương trình đầu tiên có thể được viết dưới dạng;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} $

$ = 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} $

Biến đổi Z của tín hiệu thứ hai có thể được viết là;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (n) Z ^ {- n} $

$ = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4} $

Vì vậy, tích chập của hai tín hiệu trên được cho bởi:

$ X (Z) = [x_1 (Z) ^ * x_2 (Z)] $

$ = [3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2}] \ times [2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4 }] $

$ = 6 + 2Z ^ {- 1} + 6Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + ... \ quad ... \ quad ... $

Thực hiện phép biến đổi Z ngược mà chúng ta nhận được,

$ x (n) = \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $

Định lý giá trị ban đầu

Nếu x (n) là một dãy nhân quả, có biến đổi Z là X (z), thì định lý giá trị ban đầu có thể được viết dưới dạng;

$ X (n) (at \ quad n = 0) = \ lim_ {z \ to \ infty} X (z) $

Proof - Chúng tôi biết điều đó,

$ X (Z) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

Mở rộng chuỗi trên, chúng ta nhận được;

$ = X (0) Z ^ 0 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $

$ = X (0) \ times 1 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $

Trong trường hợp trên nếu Z → ∞ thì $ Z ^ {- n} \ rightarrow 0 $ (Vì n> 0)

Do đó, chúng ta có thể nói;

$ \ lim_ {z \ to \ infty} X (z) = X (0) $ (Do đó đã được chứng minh)

Định lý giá trị cuối cùng

Định lý Giá trị Cuối cùng phát biểu rằng nếu biến đổi Z của một tín hiệu được biểu diễn là X (Z) và các cực đều nằm bên trong vòng tròn, thì giá trị cuối cùng của nó được biểu thị là x (n) hoặc X (∞) và có thể được viết như -

$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ to \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ to 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $

Conditions -

Nó chỉ áp dụng cho các hệ thống nhân quả.
$ X (Z) (1-Z ^ {- 1}) $ nên có các cực bên trong hình tròn đơn vị trong mặt phẳng Z.

Proof - Chúng tôi biết rằng

$ Z ^ + [x (n + 1) -x (n)] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

$ \ Rightarrow Z ^ + [x (n + 1)] - Z ^ + [x (n)] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

$ \ Rightarrow Z [X (Z) ^ + - x (0)] - X (Z) ^ + = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

Ở đây, chúng ta có thể áp dụng thuộc tính nâng cao của Chuyển đổi Z một phía. Vì vậy, phương trình trên có thể được viết lại thành;

$ Z ^ + [x (n + 1)] = Z [X (2) ^ + - x (0) Z ^ 0] = Z [X (Z) ^ + - x (0)] $

Bây giờ đặt z = 1 vào phương trình trên, chúng ta có thể khai triển phương trình trên:

$ \ lim_ {k \ to \ infty} {[x (1) -x (0) + x (6) -x (1) + x (3) -x (2) + ... \ quad ... \ quad ... + x (x + 1) -x (k)]} $

Điều này có thể được xây dựng dưới dạng;

$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ to \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ to 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $ (Do đó đã được chứng minh)

Thí dụ

Hãy để chúng tôi tìm giá trị ban đầu và cuối cùng của x (n) có tín hiệu được cho bởi

$ X (Z) = 2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2} $

Solution - Trước hết chúng ta hãy tìm giá trị ban đầu của tín hiệu bằng cách áp dụng định lý

$ x (0) = \ lim_ {z \ to \ infty} X (Z) $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2}] $

$ = 2 + (\ frac {3} {\ infty}) + (\ frac {4} {\ infty}) = 2 $

Bây giờ chúng ta hãy tìm giá trị cuối cùng của tín hiệu áp dụng định lý

$ x (\ infty) = \ lim_ {z \ to \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) X (Z)] $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) (2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2})] $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [2 + Z ^ {- 1} + Z ^ {- 2} -4Z ^ {- 3}] $

$ = 2 + 1 + 1-4 = 0 $

Some other properties of Z-transform are listed below -

Sự khác biệt về tần số

Nó cung cấp cho sự thay đổi trong miền Z của tín hiệu, khi tín hiệu rời rạc của nó được phân biệt theo thời gian.

$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dX (z)} {dz} $

ROC của nó có thể được viết là;

$ r_2 <Mod (Z) <r_1 $

Thí dụ

Hãy để chúng tôi tìm giá trị của x (n) thông qua Phân biệt tần số, tín hiệu rời rạc trong miền Z được cho bởi $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) = log (1 + aZ ^ {- 1}) $

Theo tài sản, chúng tôi có thể viết rằng

$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dx (Z)} {dz} $

$ = -Z [\ frac {-aZ ^ {- 2}} {1 + aZ ^ {- 1}}] $

$ = (aZ ^ {- 1}) / (1 + aZ ^ {- 1}) $

$ = 1-1 / (1 + aZ ^ {- 1}) $

$ nx (n) = \ delta (n) - (- a) ^ nu (n) $

$ \ Rightarrow x (n) = 1 / n [\ delta (n) - (- a) ^ nu (n)] $