DSP - Biến đổi tần số thời gian DFT
Chúng ta biết rằng khi $ \ omega = 2 \ pi K / N $ và $ N \ rightarrow \ infty, \ omega $ trở thành một biến liên tục và giới hạn tổng trở thành $ - \ infty $ thành $ + \ infty $.
Vì thế,
$$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {j \ omega}) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {\ frac {-j2 \ pi nk} {N}} = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $$Biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT)
Chúng tôi biết rằng, $ X (e ^ {j \ omega}) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $
Trong đó, $ X (e ^ {j \ omega}) $ liên tục và tuần hoàn theo ω và với chu kỳ 2π. … Eq (1)
Hiện nay,
$ x_p (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $ … Từ chuỗi Fourier
$ x_p (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} \ times \ frac {2 \ pi} {N } $
ω trở nên liên tục và $ \ frac {2 \ pi} {N} \ rightarrow d \ omega $, bởi vì các lý do được nêu ở trên.
$ x (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {n = 0} ^ {2 \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $ … Eq (2)
Biến đổi Fourier thời gian rời rạc nghịch đảo
Nói một cách hình tượng,
$ x (n) \ Longleftrightarrow x (e ^ {j \ omega}) $ (Cặp biến đổi Fourier)
Điều kiện cần và đủ để tồn tại Biến đổi Fourier Thời gian Rời rạc cho một chuỗi không tuần hoàn x (n) là tổng tuyệt đối.
tức là $ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty | x (n) | <\ infty $
Thuộc tính của DTFT
Linearity: $ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) \ Mũi tên trái sang phải a_1X_1 (e ^ {j \ omega}) + a_2X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Time shifting- $ x (nk) \ Mũi tên bên trái e ^ {- j \ omega k} .X (e ^ {j \ omega}) $
Time Reversal- $ x (-n) \ Mũi tên trái X (e ^ {- j \ omega}) $
Frequency shifting- $ e ^ {j \ omega _0n} x (n) \ Phím trái phải X (e ^ {j (\ omega - \ omega _0)}) $
Differentiation frequency domain- $ nx (n) = j \ frac {d} {d \ omega} X (e ^ {j \ omega}) $
Convolution- $ x_1 (n) * x_2 (n) \ Phím phải trái X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Multiplication- $ x_1 (n) \ times x_2 (n) \ Phím phải trái X_1 (e ^ {j \ omega}) * X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Co-relation- $ y_ {x_1 \ times x_2} (l) \ Phím phải trái X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Modulation theorem- $ x (n) \ cos \ omega _0n = \ frac {1} {2} [X_1 (e ^ {j (\ omega + \ omega _0}) * X_2 (e ^ {jw}) $
Symmetry- $ x ^ * (n) \ Mũi tên trái X ^ * (e ^ {- j \ omega}) $;
$ x ^ * (- n) \ Mũi tên trái X ^ * (e ^ {j \ omega}) $;
$ Real [x (n)] \ Left Rightarrow X_ {chẵn} (e ^ {j \ omega}) $;
$ Imag [x (n)] \ Left rightarrow X_ {Od} (e ^ {j \ omega}) $;
$ x_ {chẵn} (n) \ Leftrightarrow Real [x (e ^ {j \ omega})] $;
$ x_ {lẻ} (n) \ Leftrightarrow Imag [x (e ^ {j \ omega})] $;
Parseval’s theorem- $ \ sum _ {- \ infty} ^ \ infty | x_1 (n) | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_1 (e ^ {j \ omega}) | ^ 2d \ omega $
Trước đó, chúng tôi đã nghiên cứu lấy mẫu trong miền tần số. Với kiến thức cơ bản đó, chúng tôi lấy mẫu $ X (e ^ {j \ omega}) $ trong miền tần số để có thể thực hiện phân tích kỹ thuật số thuận tiện từ dữ liệu được lấy mẫu đó. Do đó, DFT được lấy mẫu trong cả miền thời gian và tần số. Với giả thiết $ x (n) = x_p (n) $
Do đó, DFT được đưa ra bởi -
$ X (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) e ^ {- \ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, k = 0,1,…., n − 1 … eq (3)
Và IDFT được cung cấp bởi -
$ X (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) e ^ {\ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, n = 0,1,…., N − 1 … eq (4)
$ \ do đó x (n) \ Mũi tên trái X (k) $
Yếu tố Twiddle
Nó được ký hiệu là $ W_N $ và được định nghĩa là $ W_N = e ^ {- j2 \ pi / N} $. Độ lớn của nó luôn được duy trì ở mức thống nhất. Giai đoạn $ W_N = -2 \ pi / N $. Nó là một vector trên vòng tròn đơn vị và được sử dụng để thuận tiện cho việc tính toán. Về mặt toán học, nó có thể được hiển thị như sau:
$ W_N ^ r = W_N ^ {r \ pm N} = W_N ^ {r \ pm 2N} = ... $
Nó là hàm của r và chu kỳ N.
Xét N = 8, r = 0,1,2,3,… .14,15,16,….
$ \ Longleftrightarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ {16} = ... = ... = W_8 ^ {32} = ... = 1 = 1 \ angle 0 $
$ W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ {17} = ... = ... = W_8 ^ {33} = ... = \ frac {1} {\ sqrt 2} = j \ frac {1} {\ sqrt 2} = 1 \ angle- \ frac {\ pi} {4} $
Chuyển đổi tuyến tính
Hãy để chúng tôi hiểu về Chuyển đổi Tuyến tính -
Chúng ta biết rằng,
$ DFT (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) .W_n ^ { -nk}; \ quad k = 0,1,…., n − 1 $
$ x (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) .W_N ^ {- nk}; \ quad n = 0,1,…., N − 1 $
Note- Tính toán DFT có thể được thực hiện với N 2 phép nhân phức và N (N-1) phép cộng phức.
$ x_N = \ begin {bmatrix} x (0) \\ x (1) \\. \\. \\ x (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ tín hiệu quad \ quad x_N $
$ X_N = \ begin {bmatrix} X (0) \\ X (1) \\. \\. \\ X (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ tín hiệu quad \ quad X_N $
$ \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & ... & 1 \\ 1 & W_N & W_N ^ 2 & ... & ... & W_N ^ {N-1} \\. & W_N ^ 2 & W_N ^ 4 & ... & ... & W_N ^ {2 (N-1)} \\. \\ 1 & W_N ^ {N-1} & W_N ^ {2 (N-1 )} & ... & ... & W_N ^ {(N-1) (N-1)} \ end {bmatrix} $
N - DFT điểm trong số hạng ma trận được cho bởi - $ X_N = W_Nx_N $
$ W_N \ longmapsto $ Ma trận biến đổi tuyến tính
$ Bây giờ, \ quad x_N = W_N ^ {- 1} X_N $
IDFT ở dạng Ma trận được cung cấp bởi
$$ x_N = \ frac {1} {N} W_N ^ * X_N $$So sánh cả hai biểu thức của $ x_N, \ quad W_N ^ {- 1} = \ frac {1} {N} W_N ^ * $ và $ W_N \ times W_N ^ * = N [I] _ {N \ times N} $
Do đó, $ W_N $ là một ma trận biến đổi tuyến tính, một ma trận trực giao (đơn nhất).
Từ tính chất tuần hoàn của $ W_N $ và từ tính chất đối xứng của nó, có thể kết luận rằng, $ W_N ^ {k + N / 2} = -W_N ^ k $
Đối xứng tròn
DFT điểm N của khoảng thời gian hữu hạn x (n) có độ dài N≤L, tương đương với DFT điểm N của phần mở rộng tuần hoàn của x (n), tức là $ x_p (n) $ của chu kỳ N. và $ x_p ( n) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) $. Bây giờ, nếu chúng ta dịch chuyển dãy, là một dãy tuần hoàn k đơn vị sang bên phải, thì sẽ thu được một dãy tuần hoàn khác. Điều này được gọi là sự thay đổi vòng tròn và điều này được đưa ra bởi,
$$ x_p ^ \ prime (n) = x_p (nk) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (nk-Nl) $$Chuỗi hữu hạn mới có thể được biểu diễn dưới dạng
$$ x_p ^ \ prime (n) = \ begin {case} x_p ^ \ prime (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0 & Ngược lại \ end {case} $$Example - Cho x (n) = {1,2,4,3}, N = 4,
$ x_p ^ \ prime (n) = x (nk, modulo \ quad N) \ Equiv x ((nk)) _ N \ quad; ex-if \ quad k = 2i.e \ quad 2 \ quad unit \ quad right \ quad shift \ quad và \ quad N = 4, $
Giả sử chiều kim đồng hồ là chiều dương.
Chúng tôi đã nhận, $ x \ prime (n) = x ((n-2)) _ 4 $
$ x \ số nguyên tố (0) = x ((- 2)) _ 4 = x (2) = 4 $
$ x \ số nguyên tố (1) = x ((- 1)) _ 4 = x (3) = 3 $
$ x \ số nguyên tố (2) = x ((- 2)) _ 4 = x (0) = 1 $
$ x \ số nguyên tố (3) = x ((1)) _ 4 = x (1) = 2 $
Conclusion - Chuyển dịch tròn của dãy điểm N tương đương với chuyển dịch tuyến tính kéo dài tuần hoàn của nó và ngược lại.
Chuỗi chẵn tròn - $ x (Nn) = x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $
$ iex_p (n) = x_p (-n) = x_p (Nn) $
Kết hợp chẵn - $ x_p (n) = x_p ^ * (Nn) $
Chuỗi số lẻ tròn - $ x (Nn) = -x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $
$ iex_p (n) = -x_p (-n) = -x_p (Nn) $
Kết hợp số lẻ - $ x_p (n) = -x_p ^ * (Nn) $
Bây giờ, $ x_p (n) = x_ {pe} + x_ {po} (n) $, trong đó,
$ x_ {pe} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) + x_p ^ * (Nn)] $
$ x_ {po} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) -x_p ^ * (Nn)] $
Đối với bất kỳ tín hiệu thực x (n) nào, $ X (k) = X ^ * (Nk) $
$ X_R (k) = X_R (Nk) $
$ X_l (k) = -X_l (Nk) $
$ \ góc X (k) = - \ góc X (NK) $
Time reversal- đảo mẫu về mẫu thứ 0 . Điều này được đưa ra là;
$ x ((- n)) _ N = x (Nn), \ quad 0 \ leq n \ leq N-1 $
Đảo ngược thời gian là vẽ các mẫu theo trình tự, theo chiều kim đồng hồ, tức là theo chiều âm giả định.
Một số thuộc tính quan trọng khác
Các thuộc tính IDFT quan trọng khác $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $
Time reversal - $ x ((- n)) _ N = x (Nn) \ longleftrightarrow X ((- k)) _ N = X (Nk) $
Circular time shift - $ x ((nl)) _ N \ longleftrightarrow X (k) e ^ {j2 \ pi lk / N} $
Circular frequency shift - $ x (n) e ^ {j2 \ pi ln / N} \ longleftrightarrow X ((kl)) _ N $
Complex conjugate properties -
$ x ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * ((- k)) _ N = X ^ * (Nk) \ quad và $
$ x ^ * ((- n)) _ N = x ^ * (Nn) \ longleftrightarrow X ^ * (- k) $
Multiplication of two sequence -
$ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quad và \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (k) $
$ \ do đó x_1 (n) x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quadⓃ X_2 (k) $
Circular convolution - và phép nhân hai DFT
$ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x_1 (n) .x_2 ((mn)) _ n, \ quad m = 0,1,2 ,. ..., N-1 $
$ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) \ longleftrightarrow X_1 (k) .X_2 (k) $
Circular correlation - Nếu $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ và $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $, thì tồn tại một chuỗi tương quan chéo được ký hiệu là $ \ bar Y_ {xy} $ sao cho $ \ bar Y_ {xy} (l) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * ((nl)) _ N = X (k) .Y ^ * (k) $
Parseval’s Theorem - Nếu $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ và $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $;
$ \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ { N-1} X (k) .Y ^ * (k) $