DSP - Lọc tuyến tính DFT
DFT cung cấp một cách tiếp cận thay thế cho tích chập miền thời gian. Nó có thể được sử dụng để thực hiện lọc tuyến tính trong miền tần số.
Do đó, $ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) \ longleftrightarrow y (n) $ .
Vấn đề trong phương pháp tiếp cận miền tần số này là $ Y (\ omega) $, $ X (\ omega) $ và $ H (\ omega) $ là hàm liên tục của ω, không có hiệu quả đối với tính toán kỹ thuật số trên máy tính. Tuy nhiên, DFT cung cấp phiên bản lấy mẫu của các dạng sóng này để giải quyết mục đích.
Ưu điểm là, có kiến thức về các kỹ thuật DFT nhanh hơn như FFT, một thuật toán tính toán hiệu quả cao hơn có thể được phát triển cho tính toán máy tính kỹ thuật số so với phương pháp tiếp cận miền thời gian.
Hãy xem xét một chuỗi thời lượng hữu hạn, $ [x (n) = 0, \ quad for, n <0 \ quad và \ quad n \ geq L] $ (phương trình tổng quát), kích thích một bộ lọc tuyến tính với phản ứng xung $ [h (n ) = 0, \ quad forn <0 \ quad và \ quad n \ geq M] $.
$$ x (n) y (n) $$ $$ output = y (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {M-1} h (k) .x (nk) $$Từ phân tích tích chập, rõ ràng rằng, khoảng thời gian của y (n) là L + M − 1.
Trong miền tần số,
$$ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) $$Bây giờ, $ Y (\ omega) $ là một hàm liên tục của ω và nó được lấy mẫu ở một tập các tần số rời rạc với số lượng mẫu riêng biệt phải bằng hoặc vượt quá $ L + M-1 $.
$$ DFT \ quad size = N \ geq L + M-1 $$Với $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $,
$ Y (\ omega) = X (k) .H (k) $, trong đó k = 0,1,…., N-1
Trong đó, X (k) và H (k) lần lượt là DFT điểm N của x (n) và h (n). $ x (n) \ & h (n) $ được đệm bằng các số không có độ dài bằng N. Nó sẽ không làm sai lệch phổ liên tục $ X (\ omega) $ và $ H (\ omega) $. Vì $ N \ geq L + M-1 $, DFT điểm N của chuỗi đầu ra y (n) đủ để biểu diễn y (n) trong miền tần số và các dữ kiện này suy ra rằng phép nhân DFT điểm N của X (k ) và H (k), theo sau là phép tính N-point IDFT phải mang lại y (n).
Điều này ngụ ý rằng, tích chập tròn điểm N của x (n) và H (n) không có khoảng đệm, bằng với tích chập tuyến tính của x (n) và h (n).
Do đó, DFT có thể được sử dụng để lọc tuyến tính.
Caution- N phải luôn lớn hơn hoặc bằng $ L + M-1 $. Nếu không, hiệu ứng răng cưa sẽ làm hỏng trình tự đầu ra.