DSP - Sự tồn tại của Z-Transform
Một hệ thống, có chức năng hệ thống, chỉ có thể ổn định nếu tất cả các cực nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Đầu tiên, chúng ta kiểm tra xem hệ thống có quan hệ nhân quả hay không. Nếu hệ thống là Nhân quả, thì chúng tôi đi xác định độ ổn định BIBO của nó; trong đó sự ổn định BIBO đề cập đến đầu vào bị giới hạn cho điều kiện đầu ra bị giới hạn.
Điều này có thể được viết là;
$ Mod (X (Z)) <\ infty $
$ = Mod (\ sum x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $
$ = \ sum Mod (x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $
$ = \ sum Mod [x (n) (re ^ {jw}) ^ {- n}] <0 $
$ = \ sum Mod [x (n) r ^ {- n}] Mod [e ^ {- jwn}] <\ infty $
$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod [x (n) r ^ {- n}] <\ infty $
Phương trình trên cho thấy điều kiện tồn tại của biến đổi Z.
Tuy nhiên, điều kiện để tồn tại tín hiệu DTFT là
$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod (x (n) <\ infty $$ví dụ 1
Chúng ta hãy thử tìm ra phép biến đổi Z của tín hiệu, được cho là
$ x (n) = - (- 0,5) ^ {- n} u (-n) + 3 ^ nu (n) $
$ = - (- 2) ^ nu (n) + 3 ^ nu (n) $
Solution - Ở đây, đối với $ - (- 2) ^ nu (n) $, ROC là Mặt trái và Z <2
Đối với $ 3 ^ nu (n) $ ROC là mặt phải và Z> 3
Do đó, ở đây biến đổi Z của tín hiệu sẽ không tồn tại vì không có vùng chung.
Ví dụ 2
Chúng ta hãy thử tìm ra biến đổi Z của tín hiệu được cho bởi
$ x (n) = -2 ^ nu (-n-1) + (0,5) ^ nu (n) $
Solution - Ở đây, với $ -2 ^ nu (-n-1) $ ROC của tín hiệu là Mặt trái và Z <2
Đối với tín hiệu $ (0,5) ^ nu (n) $ ROC nằm bên phải và Z> 0,5
Vì vậy, ROC chung được hình thành là 0,5 <Z <2
Do đó, biến đổi Z có thể được viết dưới dạng;
$ X (Z) = \ lbrace \ frac {1} {1-2Z ^ {- 1}} \ rbrace + \ lbrace \ frac {1} {(1-0.5Z) ^ {- 1}} \ rbrace $
Ví dụ 3
Chúng ta hãy thử tìm ra biến đổi Z của tín hiệu, được cho dưới dạng $ x (n) = 2 ^ {r (n)} $
Solution- r (n) là tín hiệu đường dốc. Vì vậy, tín hiệu có thể được viết là;
$ x (n) = 2 ^ {nu (n)} \ lbrace 1, n <0 (u (n) = 0) \ quad và \ quad2 ^ n, n \ geq 0 (u (n) = 1) \ rbrace $
$ = u (-n-1) + 2 ^ nu (n) $
Ở đây, cho tín hiệu $ u (-n-1) $ và ROC Z <1 và cho $ 2 ^ nu (n) $ với ROC là Z> 2.
Vì vậy, biến đổi Z của tín hiệu sẽ không tồn tại.
Z -Transform cho Hệ thống Nhân quả
Hệ thống nhân quả có thể được định nghĩa là $ h (n) = 0, n <0 $. Đối với hệ thống nhân quả, ROC sẽ nằm ngoài vòng tròn trong mặt phẳng Z.
$ H (Z) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {\ infty} h (n) Z ^ {- n} $
Mở rộng phương trình trên,
$ H (Z) = h (0) + h (1) Z ^ {- 1} + h (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $
$ = N (Z) / D (Z) $
Đối với hệ thống nhân quả, việc mở rộng Hàm truyền không bao gồm lũy thừa dương của Z. Đối với hệ thống nhân quả, thứ tự của tử số không được vượt quá thứ tự của mẫu số. Điều này có thể được viết là-
$ \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} H (Z) = h (0) = 0 \ quad hoặc \ quad Hữu hạn $
Để ổn định hệ thống nhân quả, các cực của hàm Truyền phải nằm bên trong vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z.
Biến đổi Z cho Hệ thống chống nhân quả
Hệ thống chống nhân quả có thể được định nghĩa là $ h (n) = 0, n \ geq 0 $. Đối với hệ thống chống nhân quả, các cực của hàm truyền phải nằm bên ngoài vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z. Đối với hệ thống chống nhân quả, ROC sẽ nằm bên trong vòng tròn trong mặt phẳng Z.