DSP - Giới thiệu Z-Transform
Biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT) tồn tại cho tín hiệu năng lượng và công suất. Biến đổi Z cũng không tồn tại đối với tín hiệu loại năng lượng và Nguồn (NENP), chỉ ở một mức độ nhất định. Thay thế $ z = e ^ {jw} $ chỉ được sử dụng cho biến đổi Z thành chuyển đổi DTFT cho tín hiệu hoàn toàn có thể tổng hợp được.
Vì vậy, biến đổi Z của tín hiệu thời gian rời rạc x (n) trong một chuỗi lũy thừa có thể được viết dưới dạng:
$$ X (z) = \ sum_ {n- \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$Phương trình trên biểu diễn một phương trình biến đổi Z hai vế.
Nói chung, khi một tín hiệu được biến đổi Z, nó có thể được biểu diễn dưới dạng:
$$ X (Z) = Z [x (n)] $$Hoặc $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) $
Nếu đó là tín hiệu thời gian liên tục thì không cần phép biến đổi Z vì sử dụng phép biến đổi Laplace. Tuy nhiên, tín hiệu thời gian rời rạc chỉ có thể được phân tích thông qua các phép biến đổi Z.
Vùng hội tụ
Vùng hội tụ là phạm vi của biến phức Z trong mặt phẳng Z. Biến đổi Z của tín hiệu là hữu hạn hoặc hội tụ. Vì vậy, ROC đại diện cho các tập giá trị của Z, trong đó X (Z) có giá trị hữu hạn.
Thuộc tính của ROC
- ROC không bao gồm bất kỳ cực nào.
- Đối với tín hiệu bên phải, ROC sẽ nằm ngoài vòng tròn trong mặt phẳng Z.
- Đối với tín hiệu bên trái, ROC sẽ nằm bên trong vòng tròn trong mặt phẳng Z.
- Để ổn định, ROC bao gồm vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z.
- Đối với tín hiệu cả hai mặt, ROC là một vòng trong mặt phẳng Z.
- Đối với tín hiệu có thời lượng hữu hạn, ROC là toàn bộ mặt phẳng Z.
Biến đổi Z có đặc điểm duy nhất là -
- Biểu thức của X (Z)
- ROC của X (Z)
Tín hiệu và ROC của chúng
| x (n) | X (Z) | ROC |
|---|---|---|
| $ \ delta (n) $ | $ 1 $ | Toàn bộ mặt phẳng Z |
| $ U (n) $ | $ 1 / (1-Z ^ {- 1}) $ | Mod (Z)> 1 |
| $ a ^ nu (n) $ | $ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $ | Mod (Z)> Mod (a) |
| $ -a ^ nu (-n-1) $ | $ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $ | Mod (Z) <Mod (a) |
| $ na ^ nu (n) $ | $ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $ | Mod (Z)> Mod (a) |
| $ -a ^ nu (-n-1) $ | $ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $ | Mod (Z) <Mod (a) |
| $ U (n) \ cos \ omega n $ | $ (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $ | Mod (Z)> 1 |
| $ U (n) \ sin \ omega n $ | $ (Z \ sin \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $ | Mod (Z)> 1 |
Thí dụ
Hãy để chúng tôi tìm biến đổi Z và ROC của tín hiệu được cho dưới dạng $ x (n) = \ lbrace 7,3,4,9,5 \ rbrace $, trong đó điểm gốc của chuỗi là 3.
Solution - Áp dụng công thức ta có -
$ X (z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $
$ = \ sum_ {n = -1} ^ 3 x (n) Z ^ {- n} $
$ = x (-1) Z + x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + x (3) Z ^ {- 3} $
$ = 7Z + 3 + 4Z ^ {- 1} + 9Z ^ {- 2} + 5Z ^ {- 3} $
ROC là toàn bộ mặt phẳng Z không bao gồm Z = 0, ∞, -∞