DSP - Z-Transform Inverse
Nếu chúng ta muốn phân tích một hệ thống, đã được biểu diễn trong miền tần số, dưới dạng tín hiệu thời gian rời rạc thì chúng ta chuyển sang phép biến đổi Z ngược.
Về mặt toán học, nó có thể được biểu diễn dưới dạng;
$$ x (n) = Z ^ {- 1} X (Z) $$trong đó x (n) là tín hiệu trong miền thời gian và X (Z) là tín hiệu trong miền tần số.
Nếu chúng ta muốn biểu diễn phương trình trên ở dạng tích phân thì chúng ta có thể viết nó dưới dạng
$$ x (n) = (\ frac {1} {2 \ Pi j}) \ oint X (Z) Z ^ {- 1} dz $$Ở đây, tích phân nằm trên một đường đóng C. Đường này nằm trong ROC của x (z) và nó chứa gốc.
Phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Khi cần phân tích ở dạng rời rạc, chúng ta chuyển tín hiệu miền tần số trở lại dạng rời rạc thông qua phép biến đổi Z ngược. Chúng ta làm theo bốn cách sau để xác định phép biến đổi Z nghịch đảo.
- Phương pháp phân chia dài
- Phương pháp mở rộng phân số từng phần
- Phương pháp tích phân dư hoặc đường bao
Phương pháp phân chia dài
Trong phương pháp này, biến đổi Z của tín hiệu x (z) có thể được biểu diễn dưới dạng tỷ số của đa thức như hình dưới đây;
$$ x (z) = N (Z) / D (Z) $$Bây giờ, nếu chúng ta tiếp tục chia tử số cho mẫu số, thì chúng ta sẽ nhận được một chuỗi như hình dưới đây
$$ X (z) = x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $$Chuỗi trên đại diện cho chuỗi biến đổi nghịch đảo Z của tín hiệu đã cho (với n≥0) và hệ thống trên là quan hệ nhân quả.
Tuy nhiên với n <0, chuỗi có thể được viết là;
$$ x (z) = x (-1) Z ^ 1 + x (-2) Z ^ 2 + x (-3) Z ^ 3 + ... \ quad ... \ quad ... $$Phương pháp mở rộng phân số từng phần
Ở đây tín hiệu cũng được thể hiện đầu tiên ở dạng N (z) / D (z).
Nếu nó là một phân số hữu tỉ, nó sẽ được biểu diễn như sau;
$ x (z) = b_0 + b_1Z ^ {- 1} + b_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + b_mZ ^ {- m}) / (a_0 + a_1Z ^ { -1} + a_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + a_nZ ^ {- N}) $
Điều trên là không đúng khi m <n và an ≠ 0
Nếu tỷ lệ không phù hợp (tức là không đúng), thì ta phải chuyển nó về dạng thích hợp để giải quyết nó.
Dư lượng hoặc Phương pháp tích phân đường viền
Trong phương pháp này, chúng ta thu được biến đổi Z ngược x (n) bằng cách tính tổng các phần dư của $ [x (z) Z ^ {n-1}] $ tại tất cả các cực. Về mặt toán học, điều này có thể được biểu thị bằng
$$ x (n) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {tất cả \ quad cực \ quad X (z)} phần còn lại \ quad của [x (z) Z ^ {n-1}] $$Ở đây, phần dư cho bất kỳ cực nào của thứ tự m tại $ z = \ beta $ là
$$ Residues = \ frac {1} {(m-1)!} \ Lim_ {Z \ rightarrow \ beta} \ lbrace \ frac {d ^ {m-1}} {dZ ^ {m-1}} \ lbrace (z- \ beta) ^ mX (z) Z ^ {n-1} \ rbrace $$