Akbuluts Korkinvolution

Question

Akbuluts Korken ist der Mazur-Verteiler $W$ im Bild unten gezeigt,

Diese Mannigfaltigkeit trägt eine Involution ihrer Grenze $f:\partial W\to \partial W$ das tauscht einen Meridian der 0-gerahmten Kurve gegen einen Meridian der gepunkteten Kurve aus.

In Akbulut - 4-Mannigfaltigkeiten sagt der Autor das$f$bezieht sich auf die Durchführung von Operationen, um den Punkt mit dem 0-Rahmen-Knoten auszutauschen. Ich verstehe nicht, wie das zusammenhängt$f$ und wie $f$ ist definiert.

Wir können sicherlich zwei Operationen durchführen (eine entlang eines Kreises und eine entlang einer 2-Kugel), um eine neue 4-Mannigfaltigkeit zu erhalten $\tilde{W}$das hat ein Kirby-Diagramm, das durch Austauschen von Punkt und Null im obigen Bild erhalten wird. Die Operation wirkt sich jedoch nicht auf die Grenze aus, sodass ich nicht sehe, wie dies zu einer nicht trivialen Karte zwischen den Grenzen führen könnte.

Genau wie ist $f$ definiert?

Answer 1

Die Grenze von W kann als 0-Frame-Operation an beiden Komponenten des von Ihnen gezeichneten Links beschrieben werden. Die Verknüpfung kann symmetrischer gezeichnet werden, so dass klar ist, dass eine Involution vorliegt, die die beiden Komponenten vertauscht. Siehe zum Beispiel Abbildung 4 von Akbuluts Artikel , Eine Lösung für eine Vermutung von Zeeman , Topology 30 (1991, 513-515). Diese Involution induziert eine Involution auf der überlagerten Mannigfaltigkeit, die die beiden Meridiane vertauscht.

Wenn Sie sich nicht darum kümmern, dass der Diffeomorphismus an der Grenze eine Involution ist, können Sie einfach eine Isotopie durchführen, bei der die Komponenten ausgetauscht werden.