Berechnungen mit komplexen Zahlen

Question

Deshalb bin ich heute in meinem Mathematikbuch auf diese eine Frage gestoßen, und ich weiß nicht, wie ich die richtige Antwort bekommen soll, obwohl es wirklich einfach zu sein scheint. Ich möchte nur wissen, wie es geht, damit ich etwas schlafen kann.

Das ist die Frage:

Wenn die komplexe Zahl $z=r(\cos\theta + i \sin\theta)$ zeige, dass $z-\frac{1}{z}=i(2r\sin\theta)$

Ich habe nicht viel für diese Frage getan, außer dies unter Verwendung der tatsächlichen komplexen Zahl zu tun: $$\frac{z^2-1}{z}$$

Kann mir jemand zeigen, wie man diese Frage beweist, jede Hilfe wird geschätzt.

Answer 1

Die Identität ist nicht wahr, tatsächlich haben wir das

$$z-\frac1z=z-\frac{\bar z}{|z|^2}=r(\cos\theta + i \sin\theta)-\frac1r(\cos\theta - i \sin\theta)=\left(r-\frac1r\right)\cos \theta+\left(r+\frac1r\right)i\sin \theta$$

Die Identität gilt nur für $\left(r-\frac1r\right)=0$ und $\left(r+\frac1r\right)=2r$ das ist $r=1$ oder $z=e^{i\theta}$.

Answer 2

Was ist gleich $\:2ir\sin\theta\:$ ist $\:z -\color{red}{\bar z}$.

Jetzt $\bar z=\dfrac 1 z\:$ dann und nur dann, wenn $z$ hat Modul $1$.