Beweisen Sie eine integrale Ungleichung

Question

Beweisen Sie, dass, wenn eine Funktion auf [0; 1] dann$\forall\theta\in(0;1)\quad \theta\int\limits_0^1f(x)dx \leq \int\limits_0^\theta f(x)dx$.

Wenn ein sehen $\leq$Dann gibt es eine Idee, Grenzen zu verwenden. Ich habe versucht, mit integralen Summen zu spielen, aber alles, was ich habe, ist das$\int\limits_0^\theta f(x)dx \gt f(\theta)\theta$ (aber es ist offensichtlich ohne integrale Summen).

Answer 1

Tipp Let$g(y):= \int_0^y f(x) dx$. Dann$g(y)$ ist konkav nach unten.

Wenden Sie Jensens Ungleichung mit an $x_1=0, x_2=1$ und $t=\theta$.

Let hinzugefügt$0 < \theta <1$.

Dann $$ g(\theta)-g(0)=\int_{0}^\theta f(x)dx \geq \theta f(\theta) \\ g(1)-g(\theta)=\int_\theta^1f(x)dx \leq (1-\theta)f(\theta) $$ Multiplizieren Sie die erste Ungleichung mit $(1-\theta)$ und der zweite von $\theta$ gibt deine Ungleichung.

Wenn Sie ersetzen $0,1$ durch $x_0,x_1$ und $\theta$ durch $t$ Sie erhalten die Jensen-Ungleichung für $g$ unter der Annahme, dass $f$ nimmt ab.

Answer 2

Ohne das anzunehmen $f$ ist differenzierbar, das können wir zeigen $F:[0,1] \to \mathbb{R}$ wo $F(\theta) =\int_0^\theta f(x) \, dx$ ist konkav.

Vorausgesetzt, dass $f$ ist begrenzt wir haben das $F$ist kontinuierlich. Schon seit$f$ ist nicht steigend, für die wir haben $\theta_1 < \theta_2$

$$F(\theta_2) - F\left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}\right) \leqslant F\left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}\right) - F(\theta_1)$$

Daher,

$$F\left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}\right) \geqslant \frac{1}{2} ( F(\theta_1) + F(\theta_2))$$

Schon seit $F$ ist kontinuierlich und Mittelpunkt konkav es muss konkav und für alle sein $\theta \in (0,1)$,

$$\frac{F(\theta)}{\theta} =\frac{F(\theta)-F(0)}{\theta-0}\geqslant \frac{F(1)-F(0)}{1-0} = F(1)$$

So,

$$\frac{1}{\theta}\int_0^\theta f(x) \, dx \geqslant \int_0^1 f(x) \, dx$$