Definition der Integration einer Differentialform (John Lee)

Question

In Kapitel 16 von John Lees Buch Introduction to Smooth Manifolds definiert er Integrale über Teilräume von$\mathbb R^n$ folgendermaßen:

Wenn $D\subseteq\mathbb R^n$ ist eine begrenzte Teilmenge, deren Grenze das Maß Null hat, und wenn $\omega$ ist eine kontinuierliche $n$-Form ein $\overline D$, dann schreibe $\omega=fdx^1\wedge\dots\wedge dx^n$ für eine kontinuierliche Funktion $f:\overline D\to\mathbb R$. Dann das Integral von$\omega$ Über $D$ ist $$\int_D\omega=\int_DfdV.$$

Meine (möglicherweise dumme) Frage lautet: Warum? $\omega$ müssen definiert werden auf $\overline D$? Sollte es nicht genug sein für$\omega$ ein kontinuierlicher sein $n$-Form definiert am $D$?

Answer 1

Wie von Angina Seng erwähnt, möchten Sie sich beim Definieren der Integration normalerweise mit Funktionen befassen, die auf kompakten Sets definiert sind. Das Verhalten der "Flucht ins Unendliche" ist nicht möglich, wenn wir kompakte Mengen betrachten. In der Tat stoßen wir in jeder Dimension auf ein Problem, wenn wir eine Funktion wie verwenden$\frac{1}{\lvert x\rvert}$ definiert am $$\Omega=(B_1(0)\setminus \{0\})\subseteq \Bbb{R}^n.$$ Dann das Integral $$ \int_\Omega\frac{1}{\lvert x\rvert}dx^1\cdots dx^n$$wird kein vernünftiges Ergebnis liefern. Wenn Sie wirklich mit offenen Sets arbeiten möchten, können Sie diesem Problem entkommen, indem Sie Formulare mit kompakter Unterstützung einführen. Dies schränkt jedoch Ihre Klasse zulässiger Formulare ein.