Der Schnittpunkt von Regular Open ist Regular Open

Question

Unten ist eine Frage und mein Lösungsversuch. Ich habe diese Frage schon einmal gesehen, aber jemand hat einen "punktuelleren" Ansatz gewählt. Ich dachte jedoch nicht, dass ein solcher Ansatz erforderlich ist. Daher frage ich mich, ob der folgende Beweis / die folgende Lösung korrekt ist.

Lassen $U$ und $V$ regelmäßig offen sein, dh $U = \operatorname{int}\operatorname{cl}(U)$ und $V = \operatorname{int}\operatorname{cl}(V)$. Zeigen Sie, dass der Schnittpunkt von$U$ und $V$ ist regulär offen, dh $U \cap V = \operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V)$.

(meine) Lösung: Für alle Sätze$U$ und $V$ wir haben das $\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq \operatorname{cl}(U) \cap \operatorname{cl}(V)$. Durch die Monotonie des Inneren haben wir$\operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq \operatorname{int}(\operatorname{cl}(U) \cap \operatorname{cl}(V))$. Da Kreuzungen in Bezug auf das Innere erhalten bleiben, haben wir das$\operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq \operatorname{int}\operatorname{cl}(U) \cap \operatorname{int}\operatorname{cl}(V)$. Schon seit$U$ und $V$ Sind reguläre Open haben wir, dass folgendes gilt:

$$\operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq U \cap V. \quad (i)$$

Beachten Sie für die andere Aufnahme, dass für alle Sätze $U$ und $V$ wir haben das $U \cap V \subseteq \operatorname{cl}(U \cap V) \quad (*)$. Schon seit$U$ und $V$ sind regulär offen, sie sind offen, daher $U \cap V$ist offen. Deshalb können wir schreiben$U \cap V = \operatorname{int}(U \cap V)$. Durch$(*)$ wir haben das $U \cap V \subseteq \operatorname{int}(\operatorname{cl}(U \cap V))$. Deshalb können wir schreiben$$U \cap V \subseteq \operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V). \quad (ii)$$

Von beiden $(i)$ und $(ii)$ Folgendes gilt $$U \cap V = \operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V),$$ wie gewünscht.

Answer 1

Ja, der Beweis ist in Ordnung.

In der Tat nutzt nur eine Einbeziehung die Tatsache, dass $U$ und $V$ sind selbst regelmäßig offen.

Mein zusammengefasstes Argument: as $U$ und $V$ sind regelmäßig offen

$$U \cap V = \operatorname{int}\operatorname{cl} U \cap \operatorname{int} \operatorname{cl} V\tag{1}$$

und als innerer Respekt $\cap$ (Genau wie die Schließung respektiert $\cup$) während für die Schließung haben wir $\operatorname{cl}( A \cap B) \subseteq \operatorname{cl} A \cap \operatorname{cl} B$ für alle $A,B$ (Die rechte Seite ist geschlossen und enthält $A \cap B$ so auch seine Schließung) bekommen wir:

$$ U \cap V = \operatorname{int}( \operatorname{cl} U \cap \operatorname{cl} V) \supseteq \operatorname{int} \operatorname{cl}(U \cap V)\tag{2}$$

Wie $U \cap V$ ist offen und eine Teilmenge von $\operatorname{cl}( U \cap V)$ trivial:

$$U \cap V \subseteq \operatorname{int} \operatorname{cl}(U \cap V)\tag{3}$$

und $(2)$ und $(3)$ kombiniert zeigen das Ergebnis.