Dual der Algebra der Endomorphismen

Question

Lassen $V$ein komplexer Vektorraum beliebiger Dimension sein. Ich soll beweisen, dass der Isomorphismus

$\text{End}(V) \to \text{End}(V)^*$ ist kanonisch.

Zunächst bin ich mir nicht einmal sicher, wie diese Karte aussehen soll. Ich weiß, wie man Elemente eines Vektorraums mit seinem Dual identifiziert, aber diese Identifikation ist nicht kanonisch. Ich bin mir nicht sicher, wie das Ersetzen eines Vektorraums durch seine Algebra der Endomorphismen diese Identifizierung kanonisch macht.

Ein anderer Ansatz, den ich mir vorstellen kann, ist die Verwendung des Isomorphismus $\text{End}(V) \cong V \otimes V^*$ und von dort aus arbeiten, aber ich kann immer noch keine Karte herausfinden, geschweige denn, wie kanonisch es wäre.

Answer 1

Sie werden nicht einmal die gleiche Dimension haben, es sei denn $V$ist endlichdimensional. Wenn$V$ ist endlichdimensional, gibt es einen kanonischen Isomorphismus, der abstrakt durch die Zusammensetzung der Folge von Isomorphismen gegeben ist

$$\text{End}(V) \cong V \otimes V^{\ast} \cong (V \otimes V^{\ast})^{\ast} \cong \text{End}(V)^{\ast}$$

(wo wir in der Mitte den natürlichen Isomorphismus verwenden $(V \otimes W)^{\ast} \cong W^{\ast} \otimes V^{\ast}$sowie die Verwendung des doppelten dualen Isomorphismus; Dies ist der wichtigste Schritt), der konkret gegeben ist durch

$$\text{End}(V) \ni X \mapsto \left( Y \mapsto \text{tr}(XY) \right) \in \text{End}(V)^{\ast}.$$

Es ist nicht ganz klar, dass diese die gleiche Karte ergeben, aber Sie können sie überprüfen, z. B. indem Sie alles anhand einer Basis von ausarbeiten $V$ und die entsprechende doppelte Basis von $V^{\ast}$. In Bezug auf eine solche Basis$\{ v_i \}$ und seine doppelte Basis $\{ v_i^{\ast} \}$ Die erste Folge von Isomorphismen geht

$$X \mapsto \sum X_{ij} v_i \otimes v_j^{\ast} \mapsto \left( \sum Y_{ij} v_i \otimes v_j^{\ast} \mapsto \sum X_{ij} Y_{ji} \right) \mapsto \left( Y \mapsto \text{tr}(XY) \right)$$

Das ist der zweite Isomorphismus.

Es lohnt sich genau zu sagen, dass "kanonisch" hier unter anderem bedeutet, dass jede Karte, die ich aufgeschrieben habe, ist $GL(V)$-äquivariante.