Ein explizites Beispiel für das einfache Approximations-Lemma

Question

Ich habe gerade das Simple Approximation Lemma im Text Real Analysis von Royden erhalten und mich gefragt, ob jemand ein explizites Beispiel für dieses Lemma liefern könnte . Im Folgenden werde ich das Lemma und eine Funktion einschließen, die die Kriterien erfüllt.

Das einfache Approximations-Lemma: Lassen Sie$f$ eine messbare Lebesgue-Funktion auf einem messbaren Lebesgue-Satz sein $E$. Wenn$f$ ist begrenzt auf $E$ dann für alle $\epsilon > 0$ Es gibt einfache Funktionen $\phi_{\epsilon}$ und $\psi_{\epsilon}$ auf $E$ so dass:

$\phi_{\epsilon}(x) \leq f(x) \leq \psi_{\epsilon}(x), \forall x \in E \tag{1}$

$0 \leq \psi_{\epsilon}(x) - \phi_{\epsilon}(x) < \epsilon \tag{2}$

Also die Funktion $f: [0, 2\pi]\to[-1, 1]$ definiert von $f(x) = \sin{x}$ ist eine messbare Lebesgue-Funktion auf einer messbaren Lebesgue-Menge und ist begrenzt, und zwar durch Folgendes $|f(x)| \leq 1$Daher gilt das Simple Approximation Lemma (richtig?). Kann jemand explizite Beispiele für die einfachen Funktionen geben$\phi_{\epsilon}$ und $\psi_{\epsilon}$?

Mein Versuch war, die Tatsache zu nutzen, dass $|f(x)| \leq 1$. Also habe ich die folgenden einfachen Funktionen ausprobiert:

$\psi_{\epsilon} = 1 - \frac{\epsilon}{2}\tag{i}$

$\phi_{\epsilon} = -1 + \frac{\epsilon}{2}\tag{ii}$

Die Eigenschaft (2) des Simple Approximation Lemma schlägt jedoch seitdem fehl

$\psi_{\epsilon} - \phi_{\epsilon} = 2 - \epsilon.$

Answer 1

Lassen $\frac{1}{n} < \epsilon$. Wir werden uns auf das Intervall konzentrieren$[0,\pi]$. Zum$ 0 \leq k \leq n-1$. Betrachten Sie die Sätze$E_k = emf^{-1}\mid_{[0,\pi]}((\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}])$.

Definieren Sie nun die Funktion $\phi$ und $\psi$ wie folgt :

$$ \phi =\sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{n} \times \chi_{E_{k}} \hspace{0.2 cm} \phi(0)= \phi(\pi) = 0 \\ \psi = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k+1}{n} \times \chi_{E_{k}} \hspace{0.2 cm} \psi(0) = \psi(1) = 0$$

Für jeden $x \in [0,\pi]$ wir haben $\phi(x) \leq f(x) \leq \psi(x)$ und $0 \leq \psi(x) - \phi(x) \leq \epsilon.$

Hinweis : Für eine Teilmenge von$E$ des obigen Intervalls. $\chi_{E}$ ist die charakteristische Funktion dieser Teilmenge.

Und diese Methode könnte leicht auf das gesamte Intervall ausgedehnt werden $[0,2\pi]$.