Ist das eine lineare Transformation?

Question

Ich bin auf die Frage gestoßen, ob f(x) = x + y($x$ und $y$ sind Vektoren) ist eine lineare Transformation.

Ich würde antworten, dass dies keine lineare Transformation ist, denn wenn y etwas anderes als der Nullvektor wäre, dann für $x =$ Nullvektor, der resultierende Vektor wäre nicht der Nullvektor und somit würde der Ursprung nicht an Ort und Stelle bleiben.

Aber wenn $y$ wäre der Nullvektor, würde dies als lineare Transformation zählen?

Vielen Dank

Answer 1

Wir haben $f(x+x') = (x+x')+y = x+x'+y$, aber $f(x)+f(x') = (x+y)+(x'+y) = x+x' +2y$.

Also es sei denn $y=0$, $f(x+x') \ne f(x)+f(x')$ und daher $f$ ist keine lineare Transformation.

Answer 2

Die Funktion $f$Sie haben eine Übersetzung von Schritt genannt $y$, wo $y$ist ein Vektor. Einige Lehrbücher schreiben Übersetzungen als$t_y(x) = x+y$, wo beide $x$ und $y$ sind Vektoren.

Ja, Sie haben Recht: es sei denn $y$ ist der Nullvektor, $f$ist keine lineare Transformation. Ich werde Ihnen mehr erzählen: Da dies tatsächlich eine Übersetzung ist, können Sie auch beweisen, dass die einzige Übersetzung, die auch eine lineare Transformation ist, die Übersetzung durch den Nullvektor ist, der nichts anderes als die Identität ist.$$t_y \; \text{is a linear transformation} \iff y=\vec{0}$$