Ist die Clifford-Gruppe endlich?

Question

Für jeden festen $n$, wie beweisen wir, dass die $n$-qubit Clifford Gruppe (Untergruppe von $ U(2^n) $erzeugt durch Hadmard-Gates, Phasenverschiebungs-Gates und CNOT-Gates) ist fein oder nicht? Ich weiß, dass es für den Einzel-Qubit-Fall, bei dem nur das H-Gatter und das S-Gatter beteiligt sind, eine endliche Gruppe ist, da diese beiden Gatter entsprechen$\pi$Rotationen auf der Bloch-Kugel entlang von Achsen, die Symmetrie zeigen. Ich denke, es bleibt im Multi-Qubit-Fall endlich, aber ich konnte keinen Weg finden, dies rigoros zu beweisen.

Wenn es endlich ist, wie lautet dann der Ausdruck der Anzahl der Elemente in der Gruppe als Funktion von $n$?

Answer 1

Manchmal gibt es ein bisschen Verwirrung um die Clifford-Gruppe auf dem Gebiet ... und es ist eine Frage der Definition.

Viele Leute definieren die Clifford-Gruppe $\mathrm{Cl}_n(p)$ von $n$ Qudits der Hauptdimension $p$als einheitlicher Normalisierer der generalisierten Pauli-Gruppe (zB Gottesman, Nielsen & Chuang). Als solches ist es eindeutig keine endliche Gruppe wie das Zentrum$U(1)$.

Dies ist jedoch auch eine schlechte Definition, sowohl aus mathematischer als auch aus physikalischer Sicht. Warum? Erstens, weil das Zentrum mathematisch langweilig ist und der Struktur der Gruppe nichts hinzufügt, und zweitens, weil die globale Phase einer Einheit unphysisch ist.

Es gibt drei Möglichkeiten, dies zu lösen:

1. Definieren Sie es durch seine Generatoren (siehe Gottesmans Artikel über höherdimensionale Generatoren). Dann ist es klar, dass es endlich ist, da alle Generatoren algebraische Matrixeinträge haben. Wenn Sie die Standardgeneratoren verwenden, erhalten Sie im Qubit-Fall immer noch ein zu großes Zentrum:$\mathbb{Z}_8$. Das Minimale ist$\mathbb{Z}_4$ im Qubit-Fall ein $\mathbb{Z}_p$im qudit fall. Neudefinition der$H$ Tor als $\frac{1+i}{\sqrt{2}} H$ macht das Zentrum für Qubits minimal.
2. Sie können es als Normalisierer in der Einheitsgruppe mit Einträgen in definieren $\mathbb{Q}[i]$(rationale komplexe Zahlen). Dadurch erhalten Sie eine Gruppe mit minimaler Mitte (siehe Lit. 1).
3. Definieren Sie die projektive Gruppe $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p):=\mathrm{Cl}_n(p)/U(1)$oder gleichwertig das Bild unter der nebenstehenden Darstellung, dh die einheitlichen Kanäle, die Cliffords zugeordnet sind. Seine Elemente können als Permutationen der Pauli-Operatoren (möglicherweise mit hinzugefügten Phasen) angesehen werden, die die Kommutierungsbeziehungen bewahren. Weil dort sind$p^{2n}$ Pauli-Operatoren, die Anzahl der Permutationen ist endlich (und damit auch $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)$). Darüber hinaus gilt es$$ \overline{\mathrm{Cl}}_n(p)/\overline{\mathcal{P}}_n(p) \simeq \mathrm{Sp}_{2n}(p), $$ wo $\overline{\mathcal{P}}_n(p)$ ist die (verallgemeinerte) Pauli-Gruppe bis zu Phasen und $\mathrm{Sp}_{2n}(p)$ ist die symplektische Gruppe über dem endlichen Feld $\mathbb{F}_p$. Ihre Kardinalität ist$$ |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1). $$ Somit hat die projektive Clifford-Gruppe Kardinalität $$ |\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)| = |\overline{\mathcal{P}}_n(p)| |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{2n} p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1) $$Für die nicht projektiven muss man mit der Reihenfolge des Zentrums multiplizieren. Für eine Referenz siehe zB Ref. 2

Verweise:

1. Gabriele Nebe, EM Rains und NJA Sloane. "Die Invarianten der Clifford-Gruppen"
2. D. Gross, "Hudsons Theorem für endlichdimensionale Quantensysteme"