Ist ${G}/\ker(\phi)$ einzigartig isomorph zu $\phi(G)$?

Question

Lassen $\phi:G \rightarrow G'$sei ein Gruppenhomomorphismus. Dann, nach dem ersten Isomorphismus-Theorem für Gruppen,$\frac{G}{\ker(\phi)}$ ist isomorph zu $\phi(G)$. Zur Vereinfachung der Notation bezeichnen$\ker(\phi)$ durch $K$. Ist der "übliche" Isomorphismus,$\psi: \frac{G}{K}\rightarrow\phi(G)$ definiert als $\psi(aK)=\phi(a)$ der einzige Isomorphismus?

Answer 1

Wie in den obigen Kommentaren erwähnt, kann man einfach (rechts-) komponieren $\psi$ mit einem Automorphismus von $\frac{G}{K}$ (Nenn das $\pi$) und erhalten einen Isomorphismus, $\psi \circ \pi: \frac{G}{K} \rightarrow G'$. Jede Gruppe mit mehr als zwei Elementen hat einen nicht trivialen Automorphismus, und wir können diesen als verwenden$\pi$wodurch ein "neuer" Isomorphismus erhalten wird $\psi\circ\pi$. Für die Ordnungsgruppen eins und zwei ist der einzige Automorphismus der Trivial- / Identitätsautomorphismus. In einem solchen Fall,$\psi$ ist der einzige Isomorphismus.

Answer 2

Es ist zwar wahr, dass der Isomorphismus $\psi: G/ \ker(\phi) \to \text{im}(\phi)$ ist nicht der einzige (wie oben erwähnt), der Grund $\psi$ wird oft als "üblich" oder "kanonisch" bezeichnet, da es der einzigartige Isomorphismus (sogar Homomorphismus) ist, der mit der Projektion kompatibel ist $p : G \to G / \ker(\phi)$ und Einbeziehung $j : \text{im}(\phi) \to G'$.

Ausdrücklich angesichts des Homomorphismus $\phi : G \to G'$kann man das folgende kommutative Diagramm bilden.

$ \require{AMScd} \begin{CD} \ker(\phi) @>{i}>> G @>{\phi}>> G' \\ & & @V{p}VV & @AA{j}A \\ & & G / \ker{\phi} @>{\psi}>> \text{im}(\phi) \end{CD} $

Wenn $f: G / \ker(\phi) \to \text{im}(\phi)$ ist irgendein anderer Homomorphismus, der das Diagramm pendeln lässt (dh so, dass $j \circ f \circ p = \phi$), weil $p$ ist surjektiv und $j$ Ist injektiv, können wir erstere nach rechts und letztere nach links aus der Gleichung streichen $j \circ f \circ p = j \circ \psi \circ p$ um das zu erreichen $f = \psi$.